圓錐曲線解答題中的定點和定值問題的解題策略(解析版)-在線瀏覽
2025-04-03 03:30本頁面
【正文】 M，N三點共線，由，表示點N的坐標，再根據A，B，N在橢圓上，結合直線，的斜率之積為，求得，從而得到 與的比值，然后由求解.例（2021江蘇鹽城市伍佑中學高三期末）已知橢圓離心率為，點A，B，D，E分別是C的左，右，上，下頂點，且四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知F是C的右焦點，過F的直線交橢圓C于P，Q兩點，記直線，的交點為T，求證：點T橫坐標為定值.【答案】（1）；（2）T橫坐標為定值，證明見解析.【詳解】（1）設橢圓C的半焦距長為c，根據題意，解得，故C的標準方程為. （2）由（1）知，設，由39。湖北武漢市高三月考）已知橢圓：的左右頂點分別為，過橢圓內點且不與軸重合的動直線交橢圓于，兩點，當直線與軸垂直時，.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線，和直線：分別交于點，若恒成立，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【詳解】（Ⅰ）由，得，故的方程為，此時.代入方程，解得，故的標準方程為.（Ⅱ）設直線方程為：，與橢圓方程聯立.得.設、則.①此時直線方程為，與聯立.得點，同理，點.由，.即.所以.即.將①代入得：.化簡得：.即..解得或.解題思路：設直線方程為：，與橢圓方程聯立，結合韋達定理得，再聯立方程得同理得坐標，結合恒成立得，化簡計算可得參數值.例（2021江西吉安市高三其他模擬（理））已知橢圓經過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在的直線與橢圓相交于，兩點，點總滿足，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因為橢圓的離心率.所以，即，又橢圓經過點，代入橢圓方程可得，聯立方程組可得，解得，.所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，聯立方程組消去得，即，因為，所以，即得，化簡得，直線的方程為，所以，直線恒過定點.解題思路： 設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，又因為，所以，將韋達定理代入得出答案.例1（2021山東德州市高三期末）已知點、分別是橢圓C的左、右焦點，離心率為，點P是以坐標原點O為圓心的單位圓上的一點，且．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設斜率為k的直線l（不過焦點）交橢圓于M，N兩點，若x軸上任意一點到直線與的距離均相等，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析，（2,0）.【詳解】(1)設橢圓的標準方程為由題意可得解得：即橢圓C的標準方程：.(2)設直線l：則有，消去 y得：，所以因為x軸上任意一點到直線與的距離均相等，所以x軸為直線與的角平分線，所以，即 所以整理化簡得：即直線l：故直線恒過定點（2,0）.解題思路：先用設而不求法表示出，然后分析得到，代入，求出，即可證明直線過定點（2，0）.設而不求是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題. 動點在定直線上的問題例1（2021（2）設直線與直線交于點，求證:點在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】解:（1）由題意知，所以，又，所以當軸時，的面積為，所以解得所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，設直線的方程為，與橢圓聯立，得.顯然恒成立.設，所以有 直線的方程為，直線的方程為，聯立兩方程可得，所以由式可得，代入上式可得，解得故點在定直線上.解題思路：設直線的方程為，聯立橢圓方程，設，由韋達定理，可知，將直線的方程與直線的方程聯立，利用韋達定理，化簡計算，即可證明結果.例1（2021湖北武漢市高三月考）設P是橢圓C：上異于長軸頂點A1，A2的任意一點，過P作C的切線與分別過A1，A2的切線交于B1，B2兩點，已知|A1A2|=4，橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）以B1B2為直徑的圓是否過x軸上的定點？如果過定點，請予以證明，并求出定點；如果不過定點，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點，證明見解析，定點為.【詳解】解：（1）由題可知，解得，由得，橢圓的方程為.（2）設，由于是異
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