圓錐曲線解答題專題四：證明問題、存在性問題(解析版)-在線瀏覽
2025-04-03 03:29本頁面
【正文】 的距離為，由，代入上式，化簡可得，所以直線與圓相切.解題思路：（2）設(shè)過點P的直線方程為，求出點的坐標(biāo)，求出直線DE，利用圓心到直線的距離等半徑即可求證.例2.（2021安徽蕪湖市高三期末（理））已知橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點為，過點作兩條傾斜角互補的直線分別交橢圓于，兩點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）解：因為橢圓的離心率為，即，又因為橢圓過點，所以，解得橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為.因為直線與直線的傾斜角互補，所以直線的方程可設(shè)為.聯(lián)立得.設(shè)，則，∴.同理可得..又，∴，所以.解題思路：（2） 分別表示出直線AB、AC,用“設(shè)而不求法”后分別表示出BC、AF的斜率，從而證明.例4.（2021八省聯(lián)考）雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在上．當(dāng)時，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因為，故，故，即，故.（2）設(shè)，其中.因為，故，故漸近線方程為：，所以，當(dāng)時，又，所以，因為，故.當(dāng)，由（1）可得，故.綜上，.解題思路：（2） 設(shè)，則，再計算，利用點在雙曲線上化簡后可得，從而可得結(jié)論成立.例6.（2021|MD|=|ME|廣東高三一模）已知點為橢圓上一點，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點作直線，與橢圓分別交于點，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）若直線，的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．【答案】（1），離心率為；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題設(shè)，得，①且，②由①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的離心率為．（2）直線的斜率為定值1. 證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，記，．設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，并消去得，則，是該方程的兩根，則，即．設(shè)直線的方程為，同理得．因為，所以，因此直線的斜率為定值．例8.（2021海南高三二模）已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作直線交橢圓于，兩點(與軸不重合)，的周長分別為12和8.（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在一點，使得直線與的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，坐標(biāo)為和.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得，解得，所以，因此橢圓的方程為.（2）因為直線過點且不與軸重合，所以設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，設(shè)，則，所以，.設(shè)，則直線與的斜率分別為，則.所以當(dāng)，即當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，所有滿足條件的的坐標(biāo)為和.解題思路：（1）由，的周長分別為12和8，可求橢圓基本量，進(jìn)一步確定方程.（2）設(shè)直線代入消元，韋達(dá)定理整體代入定點滿足的關(guān)系，探求恒成立的條件.例10.（2021安徽淮北市高三一模（理））已知橢圓的離心率為，左頂點為A，右焦點F，.過F且斜率存在的直線交橢圓于P，N兩點，P關(guān)于原點的對稱點為M.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）【詳解】解：（1）因為離心率為，所以，又，所以，解得，又，所以，所以橢圓方程為（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，因為與關(guān)于原點對稱，所以所以，若存在，使得恒成立，所以所以兩邊同乘得又因為在橢圓上，所以所以所以當(dāng)時，則所以①；當(dāng)時，與重合，聯(lián)立方程，消元得，所以所以，代入①得，整理得，解得解題思路：（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，即可求出參數(shù)的值；例12.（2021湖北高三月考）已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別為短軸的上端點為，且（1）求橢圓的方程；（2）若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于兩點，是
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