圓錐曲線定值結論-在線瀏覽
2024-08-02 15:52本頁面
【正文】 由于在解決具體的數(shù)學問題中，大多遇到的焦點弦的斜率是存在且不為0的，所以，根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關系，不難得出：推論1 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點的直線交曲線于、兩點，直線的斜率為（），則曲線的離心率滿足等式．當圓錐曲線的焦點在軸上時，同理還可得推論2 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點的直線交曲線于、兩點，若直線的傾斜角為，斜率為（），則曲線的離心率滿足等式，．（推論的證明從略，讀者可以自行完成．）二．結論的應用例1．（2008年全國Ⅱ卷）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點設，則與的比值等于 ．解析：焦點弦所在直線的傾斜角為，則由定理可得，所以．例2．（2008年江西卷）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側），則 ．解析：根據(jù)拋物線的對稱性知，設，由推論2可得，所以．例3．（2009年全國Ⅰ卷）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的離心率為 （ ） A． B． C． D．解析：由推論1得，故選A．例4．（2010全國Ⅱ卷文理）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于兩點若，則（ ）A．1 B． C． D．2解析：由推論1得，解得，故選B．例5．（2010全國Ⅰ卷文理）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為 ．解析：如圖4，由題意可得，設直線的傾斜角為，則，由定理可得，所以．由此可見，本文的結論在解決與圓錐曲線焦點弦相關的問題時非常快捷，既避免了繁瑣的代數(shù)運算，又節(jié)省了不少時間，可謂是圓錐
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