圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問題的解題策略(解析版)-文庫吧資料
2025-04-03 03:30本頁面
【正文】 上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，又，所以，故所求橢圓C的方程為.（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為.設(shè)，(，).，且有.(，)，故故點(diǎn)T恒在一定直線上.解題思路：設(shè)出直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理求出的直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，進(jìn)而可得結(jié)果. 圓過定點(diǎn)問題例1（2021山東威海市高三期末）已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點(diǎn)，是它的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與交于(異于)兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程。湖北襄陽市高三期末）已知，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意得，則，.由，得，即所以橢圓的方程為（2）由題易知：直線的斜率存在，且斜率不為零，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由得，∴，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，∴，整理得，即，解得：直線方程為：，所以直線過定點(diǎn).解題思路：設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得，又因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，所以，通過計(jì)算化簡(jiǎn)即可求得定點(diǎn).例1（2021陜西榆林市高三一模（理））已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與橢圓的焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）證明見解析.【詳解】（1）橢圓可得焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為 ，所以①，由可得，解得，所以②，由①②可得：，所以橢圓的方程為：，拋物線C的方程為：；（2）設(shè)，則，圓的方程為：，圓的方程為：，所以直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則..所以為定值.解題思路：設(shè)，則，寫出圓和圓的方程，兩個(gè)圓的方程相減可得直線的方程，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離為，再利用計(jì)算弦長(zhǎng)即可.題型二、證明動(dòng)直線過定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題解答圓錐曲線的定點(diǎn)問題的策略：參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān). 直線過定點(diǎn)問題例（2020①，②①②兩式相除得，又，故，所以，故.所以③由題意知直線不平行于x軸，由于直線經(jīng)過F點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，（直線的方程為，可避免討論直線的斜率是否存在，簡(jiǎn)化計(jì)算，提高正確率）代入整理，得，把代入③，所以所以解得.所以點(diǎn)T橫坐標(biāo)為定值.解題思路：設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)在橢圓C上，代入方程化簡(jiǎn)整理可得，設(shè)直線的方程為，與橢圓C聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，代入上式即可.例（2021山東泰安市高三期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與直線交于點(diǎn)，則是否為定值？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，.【詳解】（1）∵，點(diǎn)在橢圓上，∴，∴，∴橢圓的方程為：．（2）是定值，理由如下：設(shè)，直線的方程為，由，整理得，∴，設(shè)，則，∴，同理可得，∴，∴，∴為定值．解題思路：設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，由三點(diǎn)共線可得，結(jié)合韋達(dá)定理坐標(biāo)表示可得.求某一個(gè)量為定值例（2021河南高三月考（理））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么樣的曲線；（2）設(shè)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，.①求證：點(diǎn)在定直線上；②求證：直線與直線的斜率之積為定值.【答案】（1），曲線為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不
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