圓錐曲線解答題專題四：證明問題、存在性問題(解析版)-文庫吧資料
2025-04-03 03:29本頁面
【正文】 時(shí)，(為定值)，這時(shí)，當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，(為定值)，滿足題意.所以存在定點(diǎn)使得對于經(jīng)過點(diǎn)的任意一條直線l均有(恒為定值).5.（2021江西上饒市高三模擬（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與分別交軌跡于點(diǎn)、設(shè)直線的斜率為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（且）；（2）存在，使得.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、求出直線、的方程，分別將這兩條直線與曲線的方程聯(lián)立，求出、利用斜率公式求出，進(jìn)而可得出的值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即，則且.整理可得（且）.因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（且）；（2）設(shè)點(diǎn)，則，解得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)、則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得，所以，即，所以，.因此，存在，使得.3.（2021四川高三月考（理））設(shè)分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，（1）求橢圓的離心率；（2）經(jīng)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，使得恒成立？；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為,由已知得即，又，所以.即，由均大于零，于是.解得，即橢圓的離心率為.(2)由(1)知,所以橢圓的方程可化為.設(shè)直線的方程為,代入并整理得....則的垂直平分線方程為.令,得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為..解題思路：（2）由（1）可得橢圓方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出弦的長，再表示出直線的垂直平分線方程，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可求出，從而得解；【鞏固訓(xùn)練】1.（2021江西高三模擬（理））已知橢圓，長軸為4，不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸的直線l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l過右焦點(diǎn)，問y軸上是否存在點(diǎn)D，使得三角形ABD為正三角形，若存在，求出點(diǎn)D，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）不存在這樣的點(diǎn)D，理由見解析.【詳解】解（1）由題意可知：，所以 設(shè)點(diǎn)，A，B在橢圓上．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．②因?yàn)椋塾散佗诘?，即，所以由③?橢圓C方程為： （2）設(shè)直線聯(lián)立得 ，假設(shè)存在點(diǎn)D，則MD的直線方程為：所以． 若為等邊三角形則：即，方程無實(shí)數(shù)解，不存在這樣的點(diǎn)D解題思路：（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可表示出點(diǎn)，假設(shè)存在點(diǎn)D，求出MD的直線方程，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式求出、由為等邊三角形，則，即可得到方程，即可判斷；例11.（2021安徽蚌埠市高三二模（理））已知圓，動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2），是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，記中點(diǎn)為，證明：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）點(diǎn)在圓內(nèi)，∴圓內(nèi)切于圓，∴，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，從而故點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2）設(shè)，若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，因?yàn)椋?，?化簡得：，即，從而，①因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，在直角中，記原點(diǎn)到直線的距離為，則，由①知，原點(diǎn)到直線的距離為，所以為定值.若直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，解得，由得，即，綜上，為定值.題型二：存在性問題解題策略：對于圓錐曲線中探索性問題，求解步驟如下：第一步：假設(shè)結(jié)論存在；第二步：結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解；第三步：若能推出合
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