20xx屆二輪復(fù)習(xí)----提升篇專題七系列-不等式選講-學(xué)案(全國通用)-資料下載頁
2025-04-03 03:00本頁面
【正文】 3)以及與直線y＝－3x＋3平行時(shí)為臨界情況，所以－3≤a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.6.(2020廣州市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|(a∈R).(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式＋f(x)≥1；(2)設(shè)不等式＋f(x)≤x的解集為M，若?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式可化為|3x－1|＋|x－2|≥3，①當(dāng)x≤時(shí)，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；②當(dāng)＜x＜2時(shí)，3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2；③當(dāng)x≥2時(shí)，3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2.綜上所述，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式的解集為.(2)不等式＋f(x)≤x可化為|3x－1|＋|x－a|≤3x，依題意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，即a－1≤x≤a＋1，所以解得－≤a≤，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.7.(2020安徽銅陵一中期末)設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1.解：(1)因?yàn)閇(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝－，z＝－時(shí)等號(hào)成立.所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為.(2)證明：因?yàn)閇(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝時(shí)等號(hào)成立.所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為.由題設(shè)知≥，解得a≤－3或a≥－1.8.(2020西安五校聯(lián)考省五校協(xié)作體試題)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|，若f(x)的最小值為1.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a＞0，m，n均為正實(shí)數(shù)，且滿足m＋n＝，求m2＋n2的最小值.解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|，①當(dāng)a＞3，即－1＞－時(shí)，f(x)＝∵f(－1)－f＝－＝＞0，∴f(－1)＞f，則當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)min＝－4－1－a＝1，∴a＝6.②當(dāng)a＜3，即－1＜－時(shí)，f(x)＝∵f(－1)－f＝(3－a)－＝＞0，∴f(－1)＞f，則當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)min＝4＋1＋a＝1，∴a＝0.③當(dāng)a＝3，即－1＝－時(shí)，f(x)＝4|x＋1|，當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)min＝0不滿足題意.綜上，a＝0或a＝6.(2)由題意知，m＋n＝3.∵m＞0，n＞0，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤(m2＋n2)＋(m2＋n2)＝2(m2＋n2)，即m2＋n2≥(m＋n)2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)取“＝”.∵m2＋n2≥，∴m2＋n2的最小值為.
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