20xx屆二輪復習----提升篇專題七系列-不等式選講-學案(全國通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為a＋b＝1，則b＝1－a，所以a2＋(1－a)2＋12.所以0，這與≥0矛盾，(a＋2)2＋(b＋2)2≥.與絕對值不等式有關的最值問題[例3] 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a2時，函數(shù)f(x)的最小值為a－1，求實數(shù)a的值.[解] (1)f(x)＋|x－1|≥2可化為＋|x－1|≥1.∵＋|x－1|≥，∴≥1，∴a≤0或a≥4，∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)當a2時，易知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零點分別為和1，且1，∴f(x)＝易知f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f＝－＋1＝a－1，解得a＝，又2，∴a＝.[解題方略]解決不等式恒成立、能成立、恰成立問題的策略不等式恒成立問題不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立，等價于在區(qū)間D上f(x)minA.不等式f(x)B在區(qū)間D上恒成立，等價于在區(qū)間D上f(x)maxB不等式能成立問題在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)A成立，等價于在區(qū)間D上f(x)maxA.在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)B成立，等價于在區(qū)間D上f(x)minB不等式恰成立問題不等式f(x)A在區(qū)間D上恰成立，等價于不等式f(x)A的解集為D.不等式f(x)B在區(qū)間D上恰成立，等價于不等式f(x)B的解集為D[跟蹤訓練]，若f(x)≤|x＋1|的解集包含，求a的取值范圍.解：由題意可知f(x)≤|x＋1|在上恒成立，當x∈時，f(x)＝|2x－a|＋|x－1|＝|2x－a|＋x－1≤|x＋1|＝x＋1，∴|2x－a|≤2，即2x－2≤a≤2x＋2，∵(2x－2)max＝4，(2x＋2)min＝5，因此a的取值范圍為[4，5].(x)不變的條件下，若存在實數(shù)x，使不等式f(x)－3|x－1|≥2能成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：∵f(x)－3|x－1|＝|2x－a|－2|x－1|＝|2x－a|－|2x－2|≤|a－2|.∴|a－2|≥2.∴a≤0或a≥4.∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[4，＋∞).(x)＝|x|＋|x＋1|.(1)若任意x∈R，恒有f(x)≥λ成立，求實數(shù)λ的取值范圍.(2)若存在m∈R，使得m2＋2m＋f(t)＝0成立，求實數(shù)t的取值范圍.解：(1)由f(x)＝|x|＋|x＋1|≥|x－(x＋1)|＝1知，f(x)min＝1，欲使任意x∈R，恒有f(x)≥λ成立，則需滿足λ≤f(x)min，所以實數(shù)λ的取值范圍為(－∞，1].(2)由題意得f(t)＝|t|＋|t＋1|＝存在m∈R，使得m2＋2m＋f(t)＝0成立，即有Δ＝4－4f(t)≥0，所以f(t)≤1，又f(t)≤1可等價轉(zhuǎn)化為或或所以實數(shù)t的取值范圍為[－1，0].[專題過關檢測]大題專攻強化練1.(2020昆明市質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)當x≠0，x∈R時，證明：f(－x)＋f≥4.解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等價于|2x－1|＋|2x＋
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