20xx屆二輪復習----提升篇專題五解析幾何-圓錐曲線的方程與性質(zhì)-學案(全國通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (2)設直線AB，CD的斜率分別為k1，k2，若|AB|＋|CD|＝6，求k1k2的值.[解] (1)由題意得易知c＝2，所以a＝2，b＝c＝＋＝1.(2)因為直線AB的斜率為k1，且直線AB過F1(－2，0)，所以直線AB的方程為y＝k1(x＋2).由消去y并整理，得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－8＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝4.同理可得|CD|＝4.因為|AB|＋|CD|＝6，所以4＋4＝6，即2＝3，去分母得2(k＋1)(2k＋1)＋2(k＋1)(2k＋1)＝3(2k＋1)(2k＋1)，化簡得kk＝，即k1k2＝177。.[解題方略] 直線與圓錐曲線的相交弦弦長的求法解決直線與圓錐曲線的相交弦問題的通法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y或x后得到一元二次方程，當Δ＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點，設為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，則弦長|AB|＝＝＝|y1－y2|＝(k為直線的斜率且k≠0)，當A，B兩點坐標易求時也可以直接用|AB|＝求之.[跟蹤訓練] 已知點M在橢圓G：＋＝1(ab0)上，且點M到兩焦點的距離之和為4.(1)求橢圓G的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P(－3，2)，求△PAB的面積.解：(1)∵2a＝4，∴a＝2.又點M在橢圓上，∴＋＝1，解得b2＝4，∴橢圓G的方程為＋＝1.(2)設直線l的方程為y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.?、僭OA，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB的中點為E(x0，y0)，則x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.∵AB是等腰△PAB的底邊，∴PE⊥AB.∴PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此時方程①為4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，∴y1＝－1，y2＝2，∴|AB|＝3.此時，點P(－3，2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝，∴△PAB的面積S＝|AB|d＝.數(shù)學運算——直線與圓錐曲線綜合問題的求解[典例] 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為(，0)，且經(jīng)過點，點M是x軸上的一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點(點A在x軸的上方).(1)求橢圓C的方程；(2)若＝2，且直線l與圓O：x2＋y2＝相切于點N，求|MN|.[解] (1)由題意知得(a2－4)(4a2－3)＝0，又a2＝3＋b2＞3，故a2＝4，則b2＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)設M(m，0)，直線l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得y1＝－2y2.由得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0，則y1＋y2＝－，y1y2＝.由y1y2＝－2y，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2，得y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2，所以＝－2，化簡得(m2－4)(t2＋4)＝－8t2m2.易知原點O到直線l的距離d＝，又直線l與圓O：x2＋y2＝相切，所以＝，即t2＝m2－1.由得21m4－16m2－16＝0，即(3m2－4)(7m2＋4)＝0，解得m2＝，此時t2＝，滿足Δ＞0，所以M.在Rt△OMN中，|MN|＝＝.[素養(yǎng)通路]本題是直線與橢圓、圓的綜合問題：(1)由題意，列關于a，b的方程組，解方程組可得a，b的值進而求得橢圓的方程；(2)設出M，A，B的坐標及直線l的方程x＝ty＋m，與橢圓方程聯(lián)立，再結合根與系數(shù)的關系，得m與t的關系，由直線與圓相切，得另一關系式，聯(lián)立可得M的坐標進而得|MN|.考查了數(shù)學運算這一核心素養(yǎng).[專題過關檢測]A組——“6＋3＋3”考點落實練一、選擇題1.(2020烏魯木齊第一次診斷)若拋物線y2＝2px(p0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝( ) 解析：選D 拋物線y2＝2px(p0)的焦點坐標為，橢圓＋＝1的焦點坐標為.由題意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝.(，0)且與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程是( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1解析：選B 設所求雙曲線方程為－＝t(t≠0)，因為一個焦點為(，0)，所以|13t|＝，所以t＝－2，即雙曲線方程為－＝1.：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓M在圓C1內(nèi)部且與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1解析：選D 設圓M的半徑為r，則|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16|C1C2|，所以點M的軌跡是以點C1(4，0)和C2
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