20xx屆二輪復習---專題四立體幾何-立體幾何中的向量方法教學案理(全國通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由．[審題指導] 第(1)問利用線面垂直的判定定理證明：平面PAD⊥平面ABCD?AB⊥平面PAD?AB⊥PD?PD⊥平面PAB；第(2)問建立空間直角坐標系，用向量法求解：建立空間直角坐標系，求出與平面PCD的法向量，求出法向量與夾角的余弦值，進而可求線面角的正弦值；第(3)問假設(shè)點存在，利用向量法建立線面平行滿足關(guān)系式求解：先假設(shè)存在點M，設(shè)出點M坐標，利用向量法，由線面平行的條件轉(zhuǎn)化為方程求解．[解析] (1)證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中點O，連接PO，CO.因為PA＝PD，所以PO⊥AD.又因為PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.因為AC＝CD，所以CO⊥AD.如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．則＝(0，－1，－1)，＝(2,0，－1)，＝(1,1，－1)，設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令z＝2，則x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)設(shè)M是棱PA上一點，則存在λ∈[0,1]，使得＝λ.因此點M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．因為BM?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，當且僅當n＝0，即(－1，－λ，λ)(1，－2,2)＝0.解得λ＝.所以在棱PA上存在點M使得BM∥平面BCD，此時＝.利用空間向量求解探索性問題的策略(1)假設(shè)題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分結(jié)論．(2)在這個前提下進行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．若由此推導出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．(2020聊城三模)如圖(1)，在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD＝60176。，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如圖(2)．(1)求證：A1E⊥平面BCDE.(2)求二面角EA1BC的余弦值．(3)判斷在線段EB上是否存在一點P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解析：(1)證明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC.又∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E.又∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，∴A1E⊥平面BCDE.(2)∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，∴以EB，ED，EA1所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系．易知DE＝2，則A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(4,2，0)，D(0,2，0)，∴＝(－2,0,2)，＝(2,2，0)，平面A1BE的一個法向量為n＝(0,1,0)．設(shè)平面A1BC的法向量為m＝(x，y，z)，由m＝0，m＝0，得令y＝1，得m＝(－，1，－)，∴cos〈m，n〉＝＝＝.由圖，得二面角EA1BC為鈍二面角，∴二面角EA1BC的余弦值為－.(3)假設(shè)在線段EB上存在一點P，使得平面A1DP⊥(t,0,0)(0≤t≤2)，則＝(t,0，－2)，＝(0,2，－2)，設(shè)平面A1DP的法向量為p＝(x1，y1，z1)，由得令x1＝2，得p＝.∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴mp＝0，即2－＋t＝0，解得t＝－3.∵0≤t≤2，∴在線段EB上不存在點P，使得平面A1DP⊥平面A1BC.限時50分鐘 滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90176。，∠B＝30176。，D，E分別是AB，CD的中點，△ACD沿CD折起，折起二面角，如圖2，連接A′F.(1)求證：平面A′EF⊥平面CBD；(2)當A′C⊥BD時，求二面角A′－CD－B的余弦值．解：本題主要考查折疊、面面垂直的證明、二面角等問題，考查考生的空間想象能力及運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學運算．(1)在平面圖形中AF⊥CD，所以折疊后得到A′E⊥CD，EF⊥CD，即可證得結(jié)論；
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