20xx年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)立體幾何教學(xué)案(編輯修改稿)
2025-03-15 03:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ⊥平面SBC，∴AF在平面SBC上射影為EF. 由三垂線定理得∠AFE為二面角A—SC—B的平面角，易得AF= ∵AE⊥平面SBC，又SB平面SBC， ∴AE⊥SB. ∴AE=A—SC—B的大小為arcsin12.（Ⅰ）解：過B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B1作B1G⊥PQ，垂足為G。如圖所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90176。，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.∴∠B1PGC1作C1H⊥PQ，故四邊形B1PQC1為等腰梯形。∴PG=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD，又CD是面ABCD與面CDEF的交線，∴AB∥面CDEF?！逧F是面ABFE與面CDEF的交線，∴AB∥EF。∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD。（Ⅲ）V估＜V。證明：∵a＞c，b＞d，∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］=（a－c）（b－d）＞0?！郪估＜V。第2課時(shí) 空間向量考綱指要：在立體幾何中，以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體，空間向量為運(yùn)算技巧，解決有關(guān)線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求?？键c(diǎn)掃描：1．兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理；（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離）。2．點(diǎn)、直線到平面的距離，直線和平面所成的角；3．平行平面間的距離，會(huì)求二面角及其平面角；zP’PQyxD1C1B1A1DCBA考題先知：例1．如圖，設(shè)直四棱柱所有的棱長(zhǎng)都為2，動(dòng)點(diǎn)P在四棱柱內(nèi)部，且到頂點(diǎn)A的距離與它到底面ABCD的距離的平方差為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（曲面）的面積。解 由題意可知，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AQ（Q為CD的中點(diǎn)）、所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)P的坐標(biāo)為，P在平面ABCD內(nèi)的射影為，由題意可知 即 即點(diǎn)P到直線的距離為, 故點(diǎn)P在以為軸，底面半徑為，高為2的圓柱面上。又,所以P的軌跡為圓柱面的, 因此，所求的面積為 .點(diǎn)評(píng)：以空間圖形為背景的軌跡問題，有機(jī)的將解析幾何與立體幾何結(jié)合在一起，能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算能力。例2．已知直三棱柱中，,點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求二面角的平面角的大小。zyxBNAEF解法1 利用平面的法向量求二面角。以為原點(diǎn)，以、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1）。依題意，.設(shè)為平面的法向量，則由,得，可取。同理可得平面的一個(gè)法向量由，知二面角的平面角的大小為。評(píng)注： 若二面角的兩個(gè)平面的法向量分別為，則由可求得二面角的大小。解法2 利用異面直線所成角求二面角。建立空間直角坐標(biāo)系同上，過A、N分別作的垂線AE、NF，垂足為E、F，則二面角的平面角大小為.設(shè)則，由,有，可得，故,由評(píng)注 對(duì)二面角，分別過半平面內(nèi)點(diǎn)A、B向公共棱作線段AE、BF，則由,可求得二面角的大小。PABCDG復(fù)習(xí)智略：例3． 在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD所在平面外取一點(diǎn)P，使PA⊥平面ABCD，且PA=AB，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G。 （1）若CG=AC，求異面直線PG與CD所成角的大小；（2）若CG=AC，求點(diǎn)C到平面PBG的距離； （3）當(dāng)點(diǎn)G在AC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不含端點(diǎn)C），求二面角PBGC的取值范圍。PABCDGEHF分析：本題如利用“幾何法”，則通過“平移變換”將異面直線角化歸為三角形的內(nèi)角，由解三角形的方法求之，凡“點(diǎn)面距離”可利用等積法求之，至于二面角，則通過“作證算”三步曲求得；本題如利用“向量法”，則建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)公式而求之。方法一：（1）過點(diǎn)G作GE∥CD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連PE，則∠PGE是異面直線PG與CD所成的角，則由條件得GE=2a，PG=3a，cos ∠PGE=,所以異面直線PG與CD所成角等于；（2）設(shè)h,則利用等積法知，在△PBG中，PB=，PG=3a，BG=，得，又在△CBG中，從而由得；（3）作CF⊥AC交PG于F，作FH⊥BG交BG于H，連CH，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，所以PA∥CG，得CG⊥平面ABCD，由三垂線定理得∠FHC是二面角PBGC的平面角，設(shè)，則由△CGF∽△AGP得，在△CBG中，得所以，從而，所以二面角PBGC的取值范
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