空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-09-14 16:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (2)求與平面所成角的正切值。(3)在平面內(nèi)找一點(diǎn),使三棱錐為正三棱錐,并求點(diǎn)到平面距離.解:(1) 面面,因?yàn)槊婷?,所以面.
(2)取中點(diǎn),連接,在中,
是正三角形,又面且面,
,即即為二面角的平面角為30176。,
面,在 中,
又面,即與面所成的線面角,
在中,
(3)在上取點(diǎn),使,則因?yàn)槭堑闹芯€,是的重心,在中,過作ABC111ACB//交于, 面,//
面,即點(diǎn)在平面上的射影是的中心,該點(diǎn)即為所求,且,.
【例16】．如圖，在長方體中，且．（I）求證：對(duì)任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由．答案解：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， ，從而， ，即． ?。ǎ捶郑↖I）由（Ｉ）及得，設(shè)平面的法向量為，則，從而可取平面的法向量為，又取平面的法向量為，且設(shè)二面角為，所以 （９分）（III） 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，即 ，即，解得 ．所以存在滿足題意得實(shí)數(shù)，使得在平面上的射影平分 （14分）ABCDEGF【例17】 如圖，在六面體中，平面∥平面，⊥平面，,∥．且,． （Ⅰ）求證： ∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ） 求五面體的體積．答案 (本題滿分13分) 解法一 向量法由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標(biāo)系，則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F(xiàn)（2，1，0）（Ⅰ），∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分（Ⅱ），設(shè)平面BCGF的法向量為， 則，令，則，而平面ADGC的法向量 ∴＝ 故二面角DCGF的余弦值為．9分 （Ⅲ）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM， 則＝ ＝＝＝．……………13分【例18】如圖，一簡單幾何體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC。（1）證明：平面ACD平面；（2）若，，試求該幾何體的體積V．答案 ：（１）證明： ∵DC平面ABC ,平面ABC ∴． 2分∵AB是圓O的直徑 ∴且 ∴平面ADC． 4分∵四邊形DCBE為平行四邊形 ∴DE//BC ∴平面ADC 6分又∵平面ADE ∴平面ACD平面7分（2）解法１：所求簡單組合體的體積：9分∵， ∴,11分∴12分13分∴該簡單幾何體的體積14分解法5：將該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱8分如圖∵， ∴,10分∴=12分 =14分【例20】如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(Ⅰ)求證:AF∥平面BDE。(Ⅱ)求證:CF⊥平面BDE。(Ⅲ)求二面角ABED的大小?
【解析】:(I)證明： 設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G?
因?yàn)镋F//AG,且EF=1,AG=AC=1.
所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF//平面EG,
因?yàn)槠矫鍮DE,AF平面BDE, 所以AF//平面BDE.
(II)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC,
所以CE平面ABCD.
如圖,以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C.
則C(0,0,0),A(,0),B(0,0).
所以,.
所以,
所以,. 所以BDE.
(III) 由(II)知,是平面BDE的一個(gè)法向量.
設(shè)平面ABE的法向量,則,.
即 所以且 令則.
所以.
從而? 因?yàn)槎娼菫殇J角,
所以二面角的大小為. 【例21】如圖,與都是邊長為2的正三角形,平面平面,平面BCD,.
(1)求點(diǎn)A到平面MBC的距離。
(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.解法二:取CD中點(diǎn)O,連OB,OM,
,
則平面BCD.
取O為原點(diǎn),直線OC、BO、OM為軸、軸、軸,
建立空間直角坐標(biāo)系如圖.,
則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為
(1)設(shè)是平面MBC的法向量,則
由
由得
取,則
(2)
設(shè)平面ACM的法向量為,
由得
解得
又平面BCD的法向量為
又平面BCD的法向量為
所以
設(shè)所求二面角為,則 【例22】如圖,五面體中,.底面是正三角形,.四邊形是矩形,平面平面AABCDO(I)求這個(gè)幾何體的體積。(Ⅱ)在上運(yùn)動(dòng),問:當(dāng)在何處時(shí),有∥平面,請(qǐng)說明理由。 (III)求二面角的余弦值.【解析】: (I)顯然這個(gè)五面體是四棱錐,因?yàn)閭?cè)面垂直于底面,所以正三角形的高就是這個(gè)四棱錐的高,又 , 所以. 于是
(Ⅱ)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),有∥平面.
證明:連結(jié)連結(jié),
∵四邊形是矩形 ∴為中點(diǎn),
∵∥平面,
且平面,平面
∴∥,∴為的中點(diǎn)
(III)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則,
所以,
, 設(shè)為平面的法向量,
則有,令,
可得平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)為平面的法向量, 則有 ,
令, 可得平面的法向量,
,
所以二面角的余弦值為 【例23】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES平面AMN?若存在,
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