立體幾何中的向量方法求夾角(編輯修改稿)
2025-07-13 12:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 CC1B1， 所以 AO ⊥ 平面 BCC1B1.2 分 取 B1C1中點(diǎn)為 O1，以 O 為原點(diǎn)， OB→， OO1→， OA→為 x ， y ， z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 B (1,0,0 ) ， D ( － 1,1,0) ， A1(0,2 ，3 ) ， A (0,0 ， 3 ) ， B1(1,2,0 ).4 分 設(shè)平面 A1AD 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， AD→＝ ( － 1,1 ，－3 ) ， AA1→＝ ( 0,2,0) ． 因?yàn)?n ⊥ AD→， n ⊥ AA1→， 得????? n A D→＝ 0 ，n AA1→＝ 0 ， 得????? － x ＋ y － 3 z ＝ 0 ，2 y ＝ 0 ，所以????? y ＝ 0 ，x ＝－ 3 z . 令 z ＝ 1 ，得 n ＝ ( － 3 ， 0,1) 為平面 A1AD 的一個(gè)法向量 .6 分 又因?yàn)?AB1→＝ ( 1,2 ，－ 3 ) ， BD→＝ ( － 2,1,0) ， BA1→＝ ( － 1,2 ， 3 ) ， 所以 AB1→BD→＝－ 2 ＋ 2 ＋ 0 ＝ 0 ， AB1→BA1→＝－ 1 ＋ 4 － 3 ＝ 0 ， 所以 AB1→⊥ BD→， AB1→⊥ BA1→， 所以 AB1⊥ 平面 A1BD ， 所以 AB1→是平面 A1BD 的一個(gè)法向量， 8 分 所以 c os 〈 n ， AB1→〉＝n AB1→| n | | AB1→|＝－ 3 － 32 2 2＝－64， 10 分 所以二面角 A － A1D － B 的余弦值為64.12 分 ? [題后感悟 ] 如何利用法向量求二面角的大小 ？ ? (1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； ? (2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量； ? (3)求出兩個(gè)法向量的夾角； ? (4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角； ? (5)確定出二面角的平面角的大小 ． 21 2 ??? ??)0,20( 21 ???? ????A B n ?221??? ??2?1?3. 線面角 設(shè) n為平面 的法向量，直線 AB與平面 所成的角為 ，向量 與 n所成的角為 ， 則 ? ?1? AB 2?n 而利用 可求 ， 從而再求出 2?1?nABnAB???2c o s?3. 線面角 ?u?a???u?l a??設(shè)直線 l的方向向量為 ， 平面 的法向量為 ， 且直線 與平面 所成的角為 ( ),則 a? ul ? 02??≤ ≤?sinauau???? (1)定義 :直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角 . (2)范圍 : (3)向量求法 :設(shè)直線 l的方向向量為 ,平面的法 向量為 ,直線與平面所成的角為 , 與 的 夾角為 ,則有 [0, ]2?u?aau||c o s | c o s | c o s s in| | | |auau? ? ? ??? ? ??或 如圖所示，正三棱柱 ABC － A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為 a ，側(cè)棱長(zhǎng)為 2 a ，求 AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的大?。? [ 解題過程 ] 取 BC 中點(diǎn) O ， B1C1中點(diǎn)
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