20xx屆二輪復(fù)習(xí)---專(zhuān)題四立體幾何-立體幾何中的向量方法教學(xué)案理(全國(guó)通用)-全文預(yù)覽
【正文】 又因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．則＝(0，－1，－1)，＝(2,0，－1)，＝(1,1，－1)，設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令z＝2，則x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.所以直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]，使得＝λ.因此點(diǎn)M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．因?yàn)锽M?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，當(dāng)且僅當(dāng)(1,0,0)＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又因?yàn)锳P∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因?yàn)镈C?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.熱點(diǎn)二 利用空間向量求空間角[例2] (2020淄博三模)如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB.(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.證明：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,1)，所以E，F(xiàn)，＝，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．(1)因?yàn)椋剑?，所以∥，即EF∥AB.又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因?yàn)棣蹋??a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)線(xiàn)面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ (理)第3講 立體幾何中的向量方法 [考情考向E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．證明：(1)連B1C，ME，則MEB1C，又DN＝A1D而A1D B1C∴MEND.∴四邊形MNDE為平行四邊形，∴MN∥DE又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE∴MN∥平面C1DE.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接DF，由已知，DF⊥DC，DF⊥D1D.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DF，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，∵AA1＝4，AB＝2.∴A1(，－1,4)，M(，1,2)，N，則＝(0,2，－2)，＝.設(shè)平面MA1N的法向量為m＝(x，y，z)，則m⊥，m⊥∴令y＝1，得平面MA1N的一個(gè)法向量為m＝(－，1,1)．又平面AMA1的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，設(shè)二面角A－MA1－N的平面角為θ，則cos θ＝＝＝－.∴sin θ＝.即二面角A－MA1－N的正弦值為.[主干整合]1．直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，則(1)線(xiàn)面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a＝，所以FG∥平面BOE.(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0,0)，則＝(x0－4，y0，－3)．因?yàn)镕M⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，即點(diǎn)M的坐標(biāo)是.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組．所以，在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.由點(diǎn)M的坐標(biāo)，得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為4，.用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開(kāi)立體幾何中的定理．如要證明線(xiàn)面平行，只需要證明平面外的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，即化歸為證明線(xiàn)線(xiàn)平行，用向量方向證明直線(xiàn)a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線(xiàn)面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線(xiàn)在平面外．(2020＝(0,2,0)卷)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．(1)求異面直線(xiàn)BP與AC1
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