20xx屆二輪復(fù)習(xí)---專題四立體幾何-立體幾何中的向量方法教學(xué)案理(全國(guó)通用)-在線瀏覽
2025-04-03 02:18本頁(yè)面
【正文】 平面的夾角計(jì)算設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)線線夾角設(shè)l，m的夾角為θ，則cos θ＝＝.(2)線面夾角設(shè)直線l與平面α的夾角為θ，則sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.(3)面面夾角設(shè)平面α，β的夾角為θ(0≤θ＜π)．則|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|.熱點(diǎn)一 利用向量法證明平行與垂直數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)數(shù)學(xué)建?！孟蛄拷鉀Q空間立體幾何中的核心素養(yǎng)以學(xué)習(xí)過的空間向量為基礎(chǔ)，通過將幾何向量化，以向量作為刻畫空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的連接點(diǎn)，解決空間幾何中難解決的問題.[例1] (2020＝，所以FG∥平面BOE.(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0,0)，則＝(x0－4，y0，－3)．因?yàn)镕M⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，即點(diǎn)M的坐標(biāo)是.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組．所以，在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.由點(diǎn)M的坐標(biāo)，得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為4，.用向量知識(shí)證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方向證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外．(2020＝(0,0,1)＝(0,2,0)天津卷)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求證：BF∥平面ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E－BD－F的余弦值為，求線段CF的長(zhǎng)．[審題指導(dǎo)] 由條件知AE，AD，AB互相垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量解決．(1)證明與平面ADE的法向量垂直即得線面平行，也可以通過證明平面ADE與平面BCF平行來實(shí)現(xiàn)線面平行的轉(zhuǎn)化．(2)與平面BDE的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值，即為所求直線與平面所成角的正弦值．(3)設(shè)CF＝h，用h表示二面角EBDF的余弦值，通過解方程得到線段長(zhǎng)．[解析] 依題意，建立以A為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．設(shè)CF＝h(h＞0)，則F(1,2，h)．(1)依題意，＝(1,0,0)是平面ADE的法向量，又＝(0,2，h)，可得卷)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．解：如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.因?yàn)锳B＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P(，－，2)，從而＝(－，－，2)，＝(0,2,2)，故|cos ＜，＞|＝＝＝.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q(，0)，因此＝(，0)，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取n＝(，－1,1)，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ，則sin θ＝|cos＜，n＞|＝＝＝，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.熱點(diǎn)三 利用空間向量解決探索性問題[例3] (2020n＝0，即(－1，－λ，λ)聊城三模)如圖(1)，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠BAD＝60176。m＝0，p＝0，即2－＋t＝0，解得t＝－3.∵0≤t≤2，∴在線段EB上不存在點(diǎn)P，使得平面A1DP⊥平面A1BC.限時(shí)50分鐘 滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90176。D，E分別是AB，CD的中點(diǎn)，△ACD沿CD折起，折起二面角，如圖2，連接A′F.(1)求證：平面A′EF⊥平面CBD；(2)當(dāng)A′C⊥BD時(shí)，求二面角A′－CD－B的余弦值．解：本題主要考查折疊、面面垂直的證明、二面角等問題，考查考生的空間想象能力及運(yùn)算求解能力，
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