高二數學立體幾何中的向量法復習-在線瀏覽
2025-01-12 03:30本頁面
【正文】 法 向 量 ,則 到 平 面 的 距 離 為問題： 請小結如何用向量的方法求空間中兩點的距離？ 點到直線的距離？點面之間的距離？ 直線到直線的距離？ ?n?a b C D A B 已知 a,b是異面直線， n為 ?的法向量 CD為 a,b的公垂線 則 ||||nABnCD??A， B分別在直線 a,b上 練習 : 如圖，空間四邊形 OABC各邊以及 AC， BO的長都是 1，點 D， E分別是邊 OA， BC的中點，連結 DE，計算 DE的長。 根據向量在軸上射影的概念 ， 點 B到面 的距離等于向量 在 n上的射影的長度 ， 所以 ?? AB??A B ndnB A n ??〈 二 〉 空間“距離”問題 3. 異面直線間的距離 n 1l2l39。 我們發(fā)現 ， 引入 “ 空間向量 ” 這一工具 ， 能避免較為復雜的空間想象 ， 為立體幾何代數化帶來很大的方便 。 事實上 ， 它是完成從幾何問題向代數問題轉化的基礎 。從 A， B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離 AC和 BD分別為 和 ,CD的長為 , AB的長為 。 la b c d解： 如圖， . dABcCDbBDaAC ???? ，化為向量問題 根據向量的加法法則 DBCDACAB ???進行向量運算 222 )( DBCDACABd ????)(2222 DBCDDBACCDACBDCDAB ?????????DBACbca ????? 2222DBCAbca ????? 2222于是，得 22222 dcbaDBCA ?????設向量 與 的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的二面角。從 A， B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離 AC和 BD分別為 和 ,CD的長為 , AB的長為 。 la b c d思考： （ 1）本題中如果夾角 可以測出，而 AB未知， 其他條件不變，可以計算出 AB的長嗎？ ? A B C D ??圖 3 22 )( DBCDACAB ???由)(2222 DBCDDBACCDACBDCDAB ?????????分析： ?c o s2222 abbca ????∴ 可算出 AB 的長。 A1 B1 C1 D1 A B C D Ad ， cba ?21212 )( CCACABCAd ????則?c o s)(2222 acbcabbca ??????)(2c os 2222acbcabcbad??????? ? （ 3）如果已知一個四棱柱的各棱長都等于 ，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？ a?A1 B1 C1 D1 A B C D 分析： 二面角 ? 平面角 ? 向量的夾角 ?回歸圖形 解： 如圖，在平面 AB1 內過 A1 作 A1E⊥ AB 于點 E， E F 在平面 AC 內作 CF⊥ AB 于 F。 例 1 正三棱柱 中 ， D是 AC的中點 ， 當 時 ， 求二面角 的余弦值 。 設底面三角形的邊長為 ， 側棱長為 b a)0,21,23( aaA )0,0( aB)0,41,43( aaD),0,0(1 bC ),0(1 baB則 C(0,0,0) 故 ),21,23(1 baaAB ??),0(1 baBC ??由于 ，所以 11 BCAB ?021 2211 ????? baBCAB∴ ab
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