20xx屆新課標數學考點預測(13)：圓錐曲線與方程(編輯修改稿)
2025-08-22 02:47 本頁面
【文章內容簡介】 為，又，當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是．當，．當不存在時，．綜上所述，的面積的最小值為．7．（2008年廣東卷，文科，20）設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．〖解析〗（1）由已知可求出G點的坐標，從而求出拋物線在點的切線方程，進而求出點的坐標，由橢圓方程也可以求出點的坐標，從而求出，得出橢圓方程和拋物線方程；（2）以為直角和以為直角的直角三角形顯然各一個，以為直角的直角三角形是否存在可以轉化成對應的方程是否有解的問題，從而可以求出滿足條件的P點的個數.〖答案〗（1）由得，當得，G點的坐標為，，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理 以為直角的只有一個。若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 。關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。三、名校試題1．（山東省濰坊市2008屆高三5月教學質量檢測，理科，21）已知實數m1，定點A（－m，0），B（m，0），S為一動點，點S與A，B兩點連線斜率之積為（1）求動點S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；（2）當時，問t取何值時，直線與曲線C有且只有一個交點？（3）在（2）的條件下，證明：直線l上橫坐標小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率.〖解析〗（1）由題易得動點S的軌跡C為橢圓，注意要除去x軸上的兩項點；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由即可求得值，注意；（3）由兩點間的距離公式和點到直線的距離公式表示出兩距離之比，轉化成求關于的函數的最小值問題，利用導函數即可解之.〖答案〗（1）設. 由題意得 ∵m1，∴軌跡C是中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項點），其中長軸長為2，短軸長為2. （2）當m=時，曲線C的方程為 由 令 此時直線l與曲線C有且只有一個公共點. （3）直線l方程為2x－y+3=0. 設點表示P到點（1，0）的距離，d2表示P到直線x=2的距離， 則 令 則 令 ∴的最小值等于橢圓的離心率. 2．（山東省煙臺市2008屆高三5月適應性練習，理科，21）如圖，在平面直角坐標系中，N為圓A上的一動點，點B（1，0），點M是BN中點，點P在線段AN上，且（1）求動點P的軌跡方程；（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓的位置關系，并說明理由?！冀馕觥剑?）由垂直平分線的性質和橢圓定義易求；（2）設出，由中點坐標公式可得以PB為直徑的圓的圓心，進而求出半徑又圓的圓心為（0，0），半徑比較圓心距與的大小關系即可.〖答案〗（1）由點M是BN中點，又可知PM垂直平分BN，所以所以|PA|+|PB|=4由橢圓定義知，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓.設橢圓方程為由可知動點P的軌跡方程為 （2）解：設點即以PB為直徑的圓的圓心為，半徑為 又圓的圓心為（0，0），半徑又故即兩圓相切.3．（寧夏銀川一中2008屆高三年級第五次月考測試，理科，21）已知直線相交于A、B兩點.（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；（2）若向量互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率 時，求橢圓的長軸長的最大值.〖解析〗（1）由已知條件易求橢圓的標準方程，再由弦長公式即可求得線段AB的長；（2）由向量互相垂直可以設從而轉化成坐標運算，求出的關系，進而用離心率表示，再由，求出的范圍即求出長軸長的最大值.〖答案〗（1），聯(lián)立則， （2）設，由， ，由此得故長軸長的最大值為4．（廣東省實驗中學2008屆高三第三次模擬考試，理科，20）已知拋物線x2=－y，直線L：(m+1)y+(3m)x+m+1=0 (m∈R且m≠－1)與拋物線交于A，B兩點.（1） 當m=0時，試用x,y的不等式組表示由直線L和拋物線圍成的封閉圖形所在平面區(qū)域(包邊界) ,并求該區(qū)域的面積.（2）求證：對任意不為零的實數m，拋物線的頂點都在以線段AB為直徑的圓C上；并求圓C的圓心的軌跡方程.（3）將拋物線x2=－y的圖像按向量=（4，16）移動后得到函數y=f(x)的圖像，若問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.〖解析〗（1）所要表示的平面區(qū)域包括邊界，要注意不等式取等號，由定積
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