eklaaa圓錐曲線與方程變式試題(編輯修改稿)
2025-08-21 23:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解得，故．變式2（2002年廣東卷）：A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求直線AB的方程；（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？ 解：（Ⅰ）直線AB的方程為．（求解過程略）（Ⅱ）聯(lián)立方程組得、．由CD垂直平分AB，得CD方程為．代入雙曲線方程整理，得．記，以及CD的中點(diǎn)為，則有從而．∵．∴．又．即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等．故A、B、C、D四點(diǎn)共圓．變式3（2005年湖北卷）：設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為整理，得 ①設(shè)①的兩個(gè)不同的根， ②是線段AB的中點(diǎn)，得解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范圍是（12，＋）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)依題意，（Ⅱ）解法1：代入橢圓方程，整理得 ③③的兩根，于是由弦長公式可得 ④將直線AB的方程 ⑤同理可得 ⑥假設(shè)在在＞12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑， ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角 ⑧由⑥式知，⑧式左邊＝由④和⑦知，⑧式右邊＝ ∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓解法2：由（Ⅱ）解法1及.代入橢圓方程，整理得 ③ 解得.將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得 ⑤ 解得.不妨設(shè)∴計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.又點(diǎn)A與B關(guān)于CD對(duì)稱，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓
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