數(shù)學曲線方程及圓錐曲線典型例題解析(編輯修改稿)
2025-08-22 09:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在橢圓上，所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。因為|y|≤1,a1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值，若1a,則當y=－1時, |PQ|取最大值2。（2）①由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1， 又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為。②設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0)，由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點P在橢圓上,得，∴線段PA中點M的軌跡方程是。③當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1。當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－)，則,又點A到直線BC的距離d=，∴△ABC的面積S△ABC=。于是S△ABC=。由≥－1,得S△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立。∴S△ABC的最大值是。（3）解：設橢圓方程為（Ⅰ）由已知得∴所求橢圓方程為。（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為由，消去y得關于x的方程：，由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得。又由韋達定理得。原點到直線的距離。.解法1：對兩邊平方整理得：（*），∵，整理得：。 又， ，從而的最大值為，此時代入方程（*）得 。所以，所求直線方程為：。解法2：令，則。 當且僅當即時，此時。 所以，所求直線方程為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。 設直線l的方程為， 則直線l與x軸的交點， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：。下同解法一。點評：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問題，主要是三角形的面積、弦長問題。處理韋達定理以及判別式問題啊是解題的關鍵。題型3：證明問題和對稱問題例5．（1）（06浙江理，19）如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設F、F分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF的中點，求證：∠ATM=∠AFT。（2）（06湖北理，20）設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。（Ⅰ）、求橢圓的方程；（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。（3）（06上海理，20）在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點。①求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；②寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．解析：（1）（I）過點、的直線方程為因為由題意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因為 即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為（II）由（I）得 故從而由，解得所以 因為又得因此點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。（2）（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為 .（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x0，y0）.∵M點在橢圓上，∴y0＝（4－x02）.
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