圓錐曲線的綜合經(jīng)典例題[有答案](編輯修改稿)
2025-07-19 16:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴. 故的周長(zhǎng). 【變式3】已知橢圓的焦點(diǎn)是,直線是橢圓的一條準(zhǔn)線. ① 求橢圓的方程； ?、?設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,求. 【答案】 ① . ?、谠O(shè) 則 ， 又 . 【變式4】已知雙曲線的方程是. ?。?）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程； ?。?）設(shè)和是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，求的大小 【答案】 ?。?）由得， ∴，.焦點(diǎn)、離心率，漸近線方程為. （2）， ∴ ∴ 【變式5】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)和，且，又橢圓長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比. ?。?）求橢圓與雙曲線的方程； ?。?）若為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求的余弦值. 【答案】 ?。?）設(shè)橢圓方程為()，雙曲線方程， 則，解得 ∵,∴ , . 故所求橢圓方程為，雙曲線方程為. ?。?）、. 由橢圓、雙曲線的定義有: 解得 由余弦定理有.類型三：離心率 5．已知橢圓上的點(diǎn)和左焦點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)，（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率. 思路點(diǎn)撥：因?yàn)椋员绢}應(yīng)建立、的齊次方程，使問(wèn)題得以解決. 解析：設(shè)橢圓方程為（），， 則，即. ∵，∴， 即，∴. 又∵， ∴. 總結(jié)升華：求橢圓的離心率，即求的比值，則可由如下方法求. ?。?）可直接求出； ?。?）在不好直接求出、的情況下，找到一個(gè)關(guān)于、的齊次等式或、用同一個(gè)量表示； ?。?）若求的取值范圍，則想辦法找不等關(guān)系. 舉一反三： 【變式1】如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】連接，則是直角三角形，且， 令，則， 即， 所以，故選D. 【變式2】已知橢圓（）與x軸正半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于B點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是左焦點(diǎn)，且，求橢圓的離心率. 法一：, ∵, ∴, 又,，代入上式，得， 利用代入，消得,即 由，解得, ∵,∴. 法二：在ΔABF中，∵， ∴，即下略） 【變式3】如圖，橢圓的中心在原點(diǎn), 焦點(diǎn)在x軸上, 過(guò)其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線, 交橢圓于A、B兩點(diǎn), 若橢圓上存在一點(diǎn)C, 使. 求橢圓的離心率.
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