數(shù)學(xué)曲線方程及圓錐曲線典型例題解析-在線瀏覽
2024-09-05 09:19本頁(yè)面
【正文】 焦點(diǎn)為，則△F1AB的面積最大為（ ） A. B. C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. （3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為（ ） A. 10 B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對(duì)稱(chēng)性知道O為AB的中點(diǎn)，則△F1OB的面積為△F1AB面積的一半。所以△F1AB的面積最大值為cb。（2）解析：由雙曲線的定義，得：， 又，所以，從而 由雙曲線的第二定義可得， 所以。故選B。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。連PB，PF。 由平面幾何知識(shí)，即，而， 所以。例4．（1）（06全國(guó)1文，21）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。（3）（06山東文，21）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l。解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。（2）①由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1， 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。③當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1。于是S△ABC=?！郤△ABC的最大值是。（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：，由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，解得。原點(diǎn)到直線的距離。 又， ，從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得 。解法2：令，則。 所以，所求直線方程為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。下同解法一。處理韋達(dá)定理以及判別式問(wèn)題啊是解題的關(guān)鍵。（2）（06湖北理，20）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（3）（06上海理，20）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)。（2）（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為 .（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2x02，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴＝（2－x0）.∵2－x00，∴解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則－2x12，－2x22，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，∴，即y2＝ 又點(diǎn)M在橢圓上，則，即
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