圓錐曲線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(編輯修改稿)
2025-04-19 06:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 t。0）ab 7 236。b4239。a=3239。 237。 22(3)(23)239。=122239。b238。a236。29239。a=4 解之得：237。239。b2=4238。解之得：k=4x2y2∴ 雙曲線方程為=1128x2y2x2y2評(píng)注：與雙曲線22=1共漸近線的雙曲線方程為22=l（λ≠0），當(dāng)λamp。gt。0時(shí)，焦ababx2y2點(diǎn)在x軸上；當(dāng)λamp。lt。0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上。與雙曲線22=1共焦點(diǎn)的雙曲線為aby2x222（a+kamp。gt。0，bkamp。gt。0）。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高=1a2+kb2k解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想。 例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55 ，求出此雙曲線的方程（精確到1m）.解：如圖8—17，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A圓的直徑AA′在x軸上，x2y2=1 ∴ 雙曲線方程為944x2y2（2）設(shè)雙曲線方程為22=1（aamp。gt。0，bamp。gt。0）ab236。a2+b2=20239。則 237。(32)2222=1239。2b238。a2236。239。a=12解之得：237。2239。238。b=8x2y2=1 ∴ 雙曲線方程為128x2y2=l（λ≠0） 法二：（1）設(shè)雙曲線方程為916上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且CC162。=132 (m)，BB162。=252 (m).設(shè)雙曲線的方程x2y2為22=1 （aamp。gt。0,bamp。gt。0）令點(diǎn)C的坐標(biāo)為（13，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（25，y－55）.ab252(y55)2132y2=1,22=1. 因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以212b212b (3)2(2)2=l ∴ 9161∴ l=4x2y2=1 ∴ 雙曲線方程為944230。16k0246。y2x2=1231。（1） 設(shè)雙曲線方程為231。4+k0247。247。 16k4+k232。248。(3)222=1 ∴16k4+k 8236。252(y55)2=1 (1)239。25239。122bb （負(fù)值舍去）.代入方解方程組237。由方程（2）得 y=2212239。13y=1 (2)239。238。122b25b55)22252程（1）得化簡(jiǎn)得 19b+275b－18150=0 （3） =1,2212b(x2y2=1. 解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求雙曲線方程為：144625 變式訓(xùn)練2：一炮彈在某處爆炸，在A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2 s. （1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？（2）已知A、B兩地相距800 m，并且此時(shí)聲速為340 m/s，求曲線的方程.解（1）由聲速及A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上.（2）如圖8—14，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則PB=340180。2=680, 即2a=680,a==800,∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.236。b239。a=,239。2239。2a=1,237。（1）解：依題意有：239。c239。a2+b2=c2,239。238。解得a2=1,b2=3.y2可得雙曲線方程為x=1.32x2y2=1 ∵=680f0,∴xamp。gt。：11560044400(xamp。gt。0).1例3. DABC中，固定底邊BC，讓頂點(diǎn)A移動(dòng)，已知BC=4，且sinCsinB=sinA，求頂2（2）解：設(shè)M(x0,y0),由雙曲線的對(duì)稱性,可得N(x0,y0).設(shè)P(xP,yP),則kPMkPN2 22yPy0yP+y0yPy0==xPx0xP+x0xPx0點(diǎn)A的軌跡方程．解：取BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)锽C=4，所以B(2,0)，c(2,0)．利用正弦定理，從條件得cb=180。4=2，即ABAC=2．由雙曲線定義知，點(diǎn)A的軌跡是B、C為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為23的雙曲線右支，y2=1(x1)． 點(diǎn)(1，0)除外，即軌跡方程為x32122y0又x=1,322所以y0=3x03,22同理yP=3xP3, 所以kPMkPN223xP33x0+3==3. 22xPx0x2y2變式訓(xùn)練3：已知雙曲線22=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x，兩條ab準(zhǔn)線的距離為l.（1）求雙曲線的方程；（2）直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M、N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.x2y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為AA2，垂直于x軸的直線m與雙曲例4. 設(shè)雙曲線C：2線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且A1A2=1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)； （2）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；（3）過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)=l， 9 若l206。[2,1],求|+|（T為（Ⅰ）中的點(diǎn)）的取值范圍。 解：（1）由題，得A1(2,0),A2(2,0)，設(shè)P(x0,y0),Q(x0,y0) 則A1P=(x0+2,y0),A2Q=(x02,y0).由A1A2=1222。xy2=1,即xy=3. …………①2x02又P(x0,y0)在雙曲線上，則y0=1. …………②2x2故可設(shè)直線l的方程為 x=ky+1，代入+y2=1中，得2(k2+2)y2+4ky+2=0.設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),y1185。0且y2185。0 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1+y2=22k ……⑤k+220202020y1y2=聯(lián)立①、②，解得 x0=177。2 由題意， x00, \x0=2.∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） …………3分（2）設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y） 由AP、M三點(diǎn)共線，得2. ……⑥ …………2分 2k+2∵=l ∴有y1=l，且l0. y2將⑤式平方除以⑥式，得(x0+2)y=y0(x+2) …………③ …………1分由AQ、M三點(diǎn)共線，得y1y24k214k2 …………1分++2=2222。l++2=2y2y2lk+2k+2由l206。[2,1]222。(x02)y=y0(x2) …………④ …………1分聯(lián)立③、④，解得 x0=511163。l+163。2222。l++2163。0 2ll2,y0=x2y. …………1分 x14k222222。163。2163。0222。k2163。222。0163。k2163。 …………1分+2∵=(x12,y1),=(x22,y2),\+=(x1+x24,y1+y2).∵P(x0,y0)在雙曲線上， 2()2∴(2y)2=1.2x2k4(k2+1),\x1+x24=k(y1+y2)2=2. 又y1+y2=2k+2k+2故|+|=(x1+x24)+(y1
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