20xx屆二輪復(fù)習(xí)---專題三數(shù)列-數(shù)列求和及綜合應(yīng)用-----學(xué)案(全國通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1)＋f(x2)．(1)證明數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列；(2)若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，不等式T2n－Tn＞log2(x＋1)(n≥2，n∈N*)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．[審題指導(dǎo)] (1)先令x1＝x2＝，再證明數(shù)列(n∈N*)為等比數(shù)列；(2)先求出數(shù)列的通項公式，再求和，根據(jù)T2n－Tn的單調(diào)性求出最小項，最后求實數(shù)x的取值范圍．[解析] (1)令x1＝x2＝，則f＝1＋f＋f，即f＝1＋2f，則f＋1＝2，令x1＝x2＝，則f(1)＝1＋2f＝1，得f＝0，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為1.(2)由題意知函數(shù)f(x)的圖象過定點(1,1)，所以f(1)＝1.令x1＝n，x2＝1，則f(n＋1)＝1＋f(1)＋f(n)，即f(n＋1)＝f(n)＋2，則{f(n)}是等差數(shù)列，公差為2，首項為1，故f(n)＝1＋(n－1)2＝2n－1.因為bn＝，所以bn＝＝.設(shè)g(n)＝T2n－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＝＋＋…＋，則g(n＋1)－g(n)＝＋－＝＞0，所以{g(n)}是遞增數(shù)列，g(n)min＝g(2)＝＋＝，從而log2(x＋1)＜，即log2(x＋1)＜2，則解得x∈(－1,3)，所以實數(shù)x的取值范圍為(－1,3)．1．求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題注意兩點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件．2．?dāng)?shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理．(2020淮南二模)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(an，Sn)在y＝－x的圖象上(x∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若c1＝0，且對任意正整數(shù)n都有＋1－＝logan，求證：對任意正整數(shù)n≥2，總有≤＋＋＋…＋＜.解：(1)∵Sn＝－an，∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，∴an＝an－1，又∵S1＝－a1，∴a1＝，∴an＝n－1＝2n＋1.(2)證明：由＋1－＝logan＝2n＋1，得當(dāng)n≥2時，＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(－－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝＝－＜.又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得證．限時50分鐘 滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2020重慶七校聯(lián)考)若數(shù)列{an}滿足－＝0，則稱{an}為“夢想數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1＋b2＋b3＝1，則b6＋b7＋b8＝( )A．4 B．16 C．32 D．64解析：C [由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比為的等比數(shù)列，故是公比為的等比數(shù)列，則{bn}是公比為2的等比數(shù)列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32，故選C.]2．(2020西安五校聯(lián)考省五校協(xié)作體考試)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若an＋Sn＝2n,2bn＝2an＋2－an＋1，則＋＋…＋＝( )A. B. C. D.解析：D [因為an＋Sn＝2n?、?，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1?、?，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，則＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選D.]3．(2020廣東省六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Sn＜λ(λ為常數(shù)，n∈N*)，則λ的最小值是( )A. B. C. D.解析：C [a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)3n，①當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)3n－1，②①－②得，nan＝4n3n－1(n≥2)，即an＝43n－1(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a1＝3≠4，所以an＝bn＝所以Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③ Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④③－④得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－，所以Sn＝－＜，所以易知λ的最小值是，故選C.]4．(2020青島三模)已知f(n)表示正整數(shù)n的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，則f(12)＝3；21的因數(shù)有1,3,7,21，則f(21)＝21，那么∑100,i＝51f(i)的值為( )A．2 488 B．2 495 C．2 498 D．2 500解析：D [由f(n)的定義知f(n)＝f(2n)，且若n為奇數(shù)則f(n)＝n，則∑100,i＝1f(i)＝f(1)＋f(2)＋…
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