20xx屆二輪復(fù)習(xí)--------函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題--學(xué)案(全國通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 單調(diào)遞增，而m(1)＝0，∴x∈(0，1)時(shí)，m(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，x∈(1，＋∞)時(shí)，m(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，∴h(x)min＝h(1)＝0.∴－a＜0，∴a＞0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，＋∞).第2課時(shí) 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)[例1] (2020天津北京朝陽期末節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－a(x－1)ex，其中a∈R.(1)若a≤0，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若0a，證明：f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).[解] (1)由已知，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝－[aex＋a(x－1)ex]＝.因此當(dāng)a≤0時(shí)，1－ax2ex0，從而f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明：由(1)知，f′(x)＝.令g(x)＝1－ax2ex，由0a，可知g(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減.又g(1)＝1－ae0，且g＝1－a＝1－0，故g(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有唯一解，從而f′(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為x0，則1x0ln.當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)＝＝0，所以f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)＝＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，因此x0是f(x)的唯一極值點(diǎn).令h(x)＝lnx－x＋1，則當(dāng)x1時(shí)，h′(x)＝－10，故h(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x1時(shí)，h(x)h(1)＝0，所以lnxx－1，從而f＝ln－aeln＝ln－ln＋1＝h0.又因?yàn)閒(x0)f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn).又f(x)在(0，x0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn). [題后悟通]判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的2種常用方法直接法直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，分離參數(shù)法分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為a＝g(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，＝a與函數(shù)y＝g(x)(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可[跟蹤訓(xùn)練]已知函數(shù)f(x)＝(x－1)2－x＋lnx(a＞1).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若1＜a＜e，試判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，令f′(x)＝0，則x1＝1，x2＝，因a＞1，則0＜＜1，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù).所以當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù).(2)當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)的極小值為f(1)＝－1＜0，f(x)的極大值為f＝－＋ln＝－－lna－1.設(shè)g(a)＝－－lna－1，其中a∈(1，e)，則g′(a)＝＋－＝＝＞0，所以g(a)在(1，e)上是增函數(shù)，所以g(a)＜g(e)＝－－2＜0.因?yàn)閒(4)＝(4－1)2－4＋ln 4＞9－4＋ln 4＝ln 4＋＞0，所以存在x0∈(1，4)，使f(x0)＝0，所以當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍[例2] (2020四省八校雙教研聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(a－1)x＋＋lnx(a＞0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)g(x)＝f(x)－m，當(dāng)a＝2時(shí)，g(x)在[e－1，e]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍.[解] (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝a－1－＋＝＝，①當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，∴f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減.②當(dāng)a＞1時(shí)，令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－＜0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.③當(dāng)a＜1時(shí)，)0＜a＜時(shí)，令f′(x)＞0，得＜x＜1，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在，(1，＋∞)上單調(diào)遞減；)a＝時(shí)，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；)＜a＜1時(shí)，令f′(x)＞0，得1＜x＜，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在(0，1)，上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x＋＋lnx在[e－1，1]上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增.∴f(x)min＝f(1)＝3，f(e－1)＝e－1＋2e－1，f(e)＝e＋＋1，f(e－1)＞f(e)，∴m∈.[解題方略]利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法：(1)分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用零點(diǎn)的存在性定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.[跟蹤訓(xùn)練]函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)由題意知，f′(x)＝a＋lnx＋1(x＞0)，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)＞0，解得x＞1；令f′(x)＜0，解得0＜x＜1.所以
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1