20xx屆二輪復習----備考篇專題二大數(shù)學思想系統(tǒng)歸納-函數(shù)與方程思想-學案(全國通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∈(0，＋∞)，g(a)＞0恒成立的充要條件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0.于是x的取值范圍是[－2，0].應(yīng)用(三) 構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解決問題在數(shù)學各分支形形色色的問題或綜合題中，將非函數(shù)問題的條件或結(jié)論，通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造出某些函數(shù)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上利用函數(shù)思想和方法使原問題獲解，構(gòu)造時，要深入審題，充分發(fā)掘題設(shè)中可類比、聯(lián)想的因素，促進思維遷移.[例3] 已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當aln2－1且x0時，exx2－2ax＋1.[解] (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.當xln2時，f′(x)0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，ln2)上單調(diào)遞減；當xln2時，f′(x)0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.(2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，則g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，由(1)知g′(x)min＝g′(ln2)＝2－2ln2＋2a.又aln2－1，則g′(x)min0.于是對?x∈R，都有g(shù)′(x)0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增.于是對?x0，都有g(shù)(x)g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.[技法領(lǐng)悟]一般地，要證f(x)g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可. [應(yīng)用體驗]5.(2020天津北京朝陽期末)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120176。，AB＝AD＝，則的最小值為( )A. B.C. 解析：選A 如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，連接AC.由題意知∠CAD＝∠CAB＝60176。，∠ACD＝∠ACB＝30176。，則D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，).設(shè)E(0，y)(0≤y≤)，則＝(－1，y)，＝，∴＝＋y2－y＝＋，∴當y＝時，.
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