【文章內(nèi)容簡介】 功學、力學、機械設計與制造等方面有著廣泛的應用，因此要求學生切實學好，并能熟練的應用，以便為今后的學習打下良好的基礎． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節(jié)課的重點是兩角差的余弦公式的推導，難點是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學目標，培養(yǎng)學生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識的能力．，體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應用過程，培養(yǎng)學生科學的思維方法和勇于探索的科學精神．、求值和恒等式證明．任務分析這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學的出發(fā)點，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導出結(jié)論，并不斷補充推導過程中的不嚴謹之處．推導過程采用了從特殊到一般逐層遞進的思維方法，學生易于接受．整個過程始終結(jié)合單位圓，以強調(diào)其直觀性．對于公式中的α和β角要強調(diào)其任意性．數(shù)學中要注意運用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學生，盡量讓學生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學生充分體會到成功的喜悅，進一步激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動他們學習的積極性，從而使其自覺主動地學習．教學過程一、問題情景我們已經(jīng)學過誘導公式，如可以這樣來認識以上公式：把角α轉(zhuǎn)動，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個實際問題：右圖411是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點，在河的左岸．點C在河的右岸，地勢比A點高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？由圖可知BE＝asin（α＋β）．我們的問題是：如何用α和β的三角函數(shù)來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？引導學生分析：事實上，我們在研究三角函數(shù)的變形或計算時，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α177。β的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．更一般地說，對于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來呢？二、建立模型 究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導學生通過特例否定這一猜想．例如，α＝60176。，β＝30176。，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60176。－30176。）＝cos30176。＝－cos30176。＝－，右邊＝cos60176。．顯然，對任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引導學生從道理上否定這一猜想．不妨設α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． （1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應的表達式需要哪些已學過的知識？（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？通過學生的討論，教師引導學生作出以下推理：設角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過點P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．過點P作PA⊥OP1，垂足為A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． ，組織學生討論（1）當α，β，α－β為任意角時，上述推導過程還能成立嗎？若要說明此結(jié)果是否對任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導學生獨立思考．事實上，根據(jù)誘導公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應用［例 題］176。及cos105176。的值．分析：本題關(guān)鍵是將15176。角分成45176。與30176。的差或者分解成60176。與45176。的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對于cos105176。，可進行類似地處理，cos105176。＝cos（60176。＋45176。）．＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來求解．［練習］1.（1）求sin75176。的值．（2）求cos75176。cos105176。＋sin75176。sin105176。的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215176。－sin215176。的值．分析：對于（1），可先用誘導公式化sin75176。為cos15176。，再用例題1中的結(jié)果即可．對于（2），逆向使用公式Cαβ，即可將原式化為cos30176。．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cαβ中的α角，用B角替換β角．2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30176。＋α）＝，60176。＜α＜150176。，求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成誘導公式的推廣，誘導公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30176。＋α）－30176。，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．（36176。＋α）cos（α－54176。）＋sin（36176。＋α）sin（α－54176。）．分析：這里可以把角36176。＋α與α－54176。均看成單角，進而直接運用公式Cαβ，不必將各式展開后再計算．分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導公式Cαβ呢？教師引導學生分析：在平面直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的數(shù)量積的坐標表示，有＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導才是正確的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導是否正確．當α－β為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，對于任意角α，β都有：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達式．兩角和與差的正弦教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當，將成為學生學習的一種負擔．針對這個特點，應充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時，通過練習使學生能夠熟練地運用這些公式．當然，這些公式的基礎是兩角和差的余弦公式．通過誘導公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意－（α＋β）］角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cαβ即可推導出公式Sα+β和Sαβ．Cα+β，Cαβ，Sα+β和Sαβ四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sαβ兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cαβ兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sαβ中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cαβ與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．任務分析這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導和講練結(jié)合的教學方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學生會推導，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)．在課堂教學中，將采用循序漸進的原則，設計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生良好的思維習慣．在教學中，及時提醒學生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點是準確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．教學目標 ，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．、余弦公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學中常用的換元、整體代換等思想方法．教學過程一、問題情景如圖421，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75176。角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準備多長的鋼絲繩？設電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75176。的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75176。角可表示成兩個特殊角45176。與30176。的和，那么sin75176。的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型 究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β