【正文】 30176。－30176。＝－cos30176。．顯然，對(duì)任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． （1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過的知識(shí)？（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？通過學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．過點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． ，組織學(xué)生討論（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過程還能成立嗎？若要說明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考．事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應(yīng)用［例 題］176。的值．分析：本題關(guān)鍵是將15176。與30176。與45176?？蛇M(jìn)行類似地處理，cos105176。＋45176。的值．（2）求cos75176。＋sin75176。的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215176。的值．分析：對(duì)于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75176。再用例題1中的結(jié)果即可．對(duì)于（2），逆向使用公式Cαβ，即可將原式化為cos30176。＋α）＝，60176。求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30176。這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．（36176。）＋sin（36176。）．分析：這里可以把角36176。均看成單角，進(jìn)而直接運(yùn)用公式Cαβ，不必將各式展開后再計(jì)算．分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸，可知角α，β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cαβ呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來推＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時(shí)，以上推導(dǎo)是否正確．當(dāng)α－β為任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，對(duì)于任意角α，β都有：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．兩角和與差的正弦教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時(shí)，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意－（α＋β）］角），可以實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cαβ即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sαβ．Cα+β，Cαβ，Sα+β和Sαβ四個(gè)公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點(diǎn)為公式Sα+β，Sαβ兩邊的運(yùn)算符號(hào)相同，Cα+β與Cαβ兩邊的運(yùn)算符號(hào)相反．Sα+β與Sαβ中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cαβ與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．任務(wù)分析這節(jié)課計(jì)劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對(duì)三角函數(shù)中的每一個(gè)公式要求學(xué)生會(huì)推導(dǎo)，會(huì)使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會(huì)把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時(shí)提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點(diǎn)是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點(diǎn)是公式的變形使用和逆向使用．教學(xué)目標(biāo) ，兩角和差的正弦公式，并了解各個(gè)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．教學(xué)過程一、問題情景如圖421，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75176。的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75176。與30176。的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型 究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導(dǎo)公式可實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． Sα+β與Sαβ中兩邊的加減運(yùn)算符號(hào)相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號(hào)的差異．三、解釋應(yīng)用 ［例題一］已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本題主要訓(xùn)練公式Sαβ與Sα+β的使用．由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［練習(xí)一］分析：1.（1）強(qiáng)調(diào)公式的直接運(yùn)用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30176。再利用已知條件求出cos（30176。到′→的位置，求點(diǎn)P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45176。－sinαsin45176。）＝5（sinαcos45176。）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60176。到1，2的位置，求點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)．［例題三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時(shí)，要關(guān)注解題過程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿足的條件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點(diǎn)P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個(gè)角為φ，則［練習(xí)三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知兩個(gè)電流瞬時(shí)值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45176。），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．四、拓展延伸出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同解決．＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60176。），求它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個(gè)函數(shù)的振幅、初相和周期．（x，y），與原點(diǎn)的距離保持不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角到點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖422），求證：三角形邊和角關(guān)系的探索教材分析初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識(shí)的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運(yùn)用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進(jìn)而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對(duì)于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語言敘述兩個(gè)定理，以便理解其實(shí)質(zhì)．當(dāng)然，就知識(shí)而言，正弦定理有三個(gè)等式，可視為三個(gè)方程；余弦定理的三個(gè)式子也可看成三個(gè)方程，每個(gè)方程中均有四個(gè)量，知道其中任意三個(gè)量便可求第四個(gè)量．這節(jié)課的重點(diǎn)是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實(shí)際問題．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在初中對(duì)三角形有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對(duì)正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進(jìn)，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個(gè)定理解三角形時(shí)，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問題．教學(xué)目標(biāo)、余弦定理的推證方法，并掌握兩個(gè)定理． 、余弦定理解斜三角形．，結(jié)合解三角形的知識(shí)，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖431），問：飛機(jī)離兩探照燈的距離分別是多少？，自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)計(jì)算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60176。20′，計(jì)算BC的長．（）問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝176。AB＝2558m．求AC，BC的長．組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出