【正文】 5176。）＝cos30176。β的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．更一般地說，對(duì)于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來呢？二、建立模型 究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導(dǎo)學(xué)生通過特例否定這一猜想．例如，α＝60176。＝⊥…△ABC中，｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。．，b的夾角為銳角時(shí)，你能說明a＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2aa－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60176。求（a＋2b）a－aa＋b（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ac＝ac＋bb）； 同理ab＝0｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab＝λ（a求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律b． 解：aa＝｜a｜2，于是｜a｜＝ac）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景如圖401所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝b．證明：（1）如圖194（2），因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因?yàn)槠矫鍭BD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如圖194（1），在Rt△BAC中，因?yàn)锳B＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．如圖194（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60176。即AB⊥BE．又因?yàn)镃D三、解釋應(yīng)用 ［例 題］：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長(zhǎng)．β，BEβ，所以AB⊥β．解：連接BC． 因?yàn)锳C⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因?yàn)锽D⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． ：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖194）．求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60176。b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．通過實(shí)例理解ab）c＝a（bb是非零向量，則a⊥b（3）a求aｂ．（2）a在b上的投影．：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60176。a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．（2）（λa）b＝（λa）b）；當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）b＝λ（ac＝ab，∴（a＋b）b）c＝a（bb＋b2，（a＋b）b＋b（a－b）＝ab＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。b＋2b． 22因此，當(dāng)k＝177。c＝1＋1＋2＋211cos90176。＋b＝c2，∴2｜a｜．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。問：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？解：由同理⊥＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．兩角和與差的余弦教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力．，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．、求值和恒等式證明．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺主動(dòng)地學(xué)習(xí)．教學(xué)過程一、問題情景我們已經(jīng)學(xué)過誘導(dǎo)公式，如可以這樣來認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問題：右圖411是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長(zhǎng)AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢(shì)比A點(diǎn)高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點(diǎn)B離開水平線AD的高度BE？由圖可知BE＝asin（α＋β）．我們的問題是：如何用α和β的三角函數(shù)來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α177。－30176。．顯然，對(duì)任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． （1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過的知識(shí)？（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？通過學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．過點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． ，組織學(xué)生討論（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過程還能成立嗎？若要說明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考．事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應(yīng)用［例 題］176。與30176。可進(jìn)行類似地處理，cos105176。的值．（2）求cos75176。的值．（3）化簡(jiǎn)cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215176。再用例題1中的結(jié)果即可．對(duì)于（2），逆向使用公式Cαβ，即可將原式化為cos30176。求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30176。）＋sin（36176。均看成單角，進(jìn)而直接運(yùn)用公式Cαβ，不必將各式展開后再計(jì)算．分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸，可知角α，β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cαβ呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來推＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，對(duì)于任意角α，β都有：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．兩角和與差的正弦教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時(shí)，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意－（α＋β）］角），可以實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cαβ即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sαβ．Cα+β，Cαβ，Sα+β和