【正文】 角，因此，須研究α－β為任意角時(shí)，以上推導(dǎo)是否正確．當(dāng)α－β為任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．（36176。的值．分析：對(duì)于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75176。＋45176。的值．分析：本題關(guān)鍵是將15176。β＝30176。＝b的幾何意義嗎？ 如圖403，ab＋2a（a－3b）． 解：（a＋2b）b＝ a2＋2ab＝cc（乘法對(duì)加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝cb＝0＝λ（ab）＝ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝54cos120176。b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．說(shuō)明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱(chēng)a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見(jiàn)，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，a． ［練習(xí)］，有一個(gè)正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點(diǎn)．問(wèn)：如何在面ACD上過(guò)點(diǎn)P畫(huà)一條與棱AB垂直的線段？試說(shuō)明理由．：如圖196，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點(diǎn)． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學(xué)中去？試寫(xiě)一篇研究性的小論文．點(diǎn) 評(píng)這篇案例結(jié)構(gòu)完整，構(gòu)思新穎．案例開(kāi)始以一個(gè)生活中常見(jiàn)的例子引入問(wèn)題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個(gè)例子，改變了問(wèn)法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學(xué)科理論和學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，激起了學(xué)生探索問(wèn)題的熱情．對(duì)性質(zhì)定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程．通過(guò)學(xué)生的認(rèn)真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學(xué)生的主體意識(shí)和樂(lè)于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 18 直線與平面垂直直線與平面垂直教材分析直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它是直線與直線垂直的延伸，是學(xué)習(xí)習(xí)近平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)．這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點(diǎn)．學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和直線的關(guān)系問(wèn)題有目的地轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問(wèn)題，這是這節(jié)課的難點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)． 、判定定理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和空間想象、計(jì)算能力，并且加強(qiáng)對(duì)思維能力的訓(xùn)練．，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)，并通過(guò)圖形的立體美，對(duì)稱(chēng)美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識(shí)．任務(wù)分析因?yàn)榕卸ǘɡ淼淖C明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來(lái)處理．又因?yàn)槎ɡ淼恼撟C層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)多，所以這節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理的證明．突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點(diǎn)上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問(wèn)題．二、建立模型我們先來(lái)研究空間中兩條直線的垂直問(wèn)題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個(gè)位置，就可能與固定的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)兩條直線不會(huì)相交，也不會(huì)在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱(chēng)它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過(guò)平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱(chēng)這兩條直線互相垂直．有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來(lái)定義直線與平面垂直了．［問(wèn) 題］？教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個(gè)平面．（2）如果一條直線（AB）和一個(gè)平面（α）相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)O的任何直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個(gè)平面叫作直線的垂面．交點(diǎn)叫作垂足．垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段．垂線段的長(zhǎng)度叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的距離．，直線l⊥平面α，直線mα，問(wèn)l與m的關(guān)系怎樣．學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫(huà)直線和平面垂直時(shí)，通常要把直線畫(huà)成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖182．？教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來(lái)判定線面垂直呢？學(xué)生討論后，教師總結(jié)．（1）因?yàn)閮蓷l相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說(shuō)明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面． 如圖183，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類(lèi)似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．定理 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖184，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．求證：l∥m．證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過(guò)直線m與平面α的交點(diǎn)B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因?yàn)橹本€m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過(guò)直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］．已知：平面α和一點(diǎn)P（如圖185）．求證：過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點(diǎn)P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過(guò)點(diǎn)P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條． ，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長(zhǎng)10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因?yàn)锳B＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90176。即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點(diǎn)不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖187）． 求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因?yàn)閘⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過(guò)點(diǎn)Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．［練習(xí)］ ：如圖188，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．ABCD，O是它對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P在α外，且：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．，有一個(gè)平面與一條已知直線垂直，問(wèn)：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：（1）在平面α內(nèi)，通過(guò)線段AA′中點(diǎn)B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．（1），如果平面α通過(guò)線段AA′的中點(diǎn)O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱(chēng)點(diǎn)A，A′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱(chēng)，平面α叫作A，A′的對(duì)稱(chēng)平面．如圖1810（2），如果一個(gè)圖形Ｆ內(nèi)的所有點(diǎn)關(guān)于平面α的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)構(gòu)成幾何圖形F′，則稱(chēng)F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱(chēng)．F到F′的圖形變換稱(chēng)為鏡面對(duì)稱(chēng)變換．如果一個(gè)圖形Ｆ通過(guò)鏡面對(duì)稱(chēng)變換后的圖形仍是它自身，則這個(gè)圖形被稱(chēng)為鏡面對(duì)稱(chēng)圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問(wèn)題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過(guò)的空間圖形，有哪些是鏡面對(duì)稱(chēng)圖形？（3）寫(xiě)一篇研究鏡面對(duì)稱(chēng)的小論文，探索鏡面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和應(yīng)用．點(diǎn) 評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點(diǎn)是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實(shí)際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識(shí)．同時(shí)，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，符合新課改精神．第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題