【正文】 10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90176。，即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點(diǎn)不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖187）． 求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因?yàn)閘⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點(diǎn)Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．［練習(xí)］ ：如圖188，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．ABCD，O是它對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P在α外，且：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．，有一個(gè)平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：（1）在平面α內(nèi)，通過線段AA′中點(diǎn)B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．（1），如果平面α通過線段AA′的中點(diǎn)O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點(diǎn)A，A′關(guān)于平面α成鏡面對稱，平面α叫作A，A′的對稱平面．如圖1810（2），如果一個(gè)圖形Ｆ內(nèi)的所有點(diǎn)關(guān)于平面α的對稱點(diǎn)構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對稱變換．如果一個(gè)圖形Ｆ通過鏡面對稱變換后的圖形仍是它自身，則這個(gè)圖形被稱為鏡面對稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過的空間圖形，有哪些是鏡面對稱圖形？（3）寫一篇研究鏡面對稱的小論文，探索鏡面對稱的性質(zhì)和應(yīng)用．點(diǎn) 評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點(diǎn)是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實(shí)際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識(shí)．同時(shí)，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，符合新課改精神．第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程和運(yùn)用過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．通過實(shí)例理解ab＝bc與a＝c的關(guān)系，ab＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ab）c＝a（bc）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景如圖401所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，ae＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)ab是非零向量，則a⊥b（3）aa＝｜a｜2，于是｜a｜＝ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。，求ab． 解：ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝54cos120176。＝－10． ［練習(xí)］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）aｂ．（2）a在b上的投影．：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60176。，求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律．：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）ab＝ba（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．（2）（λa）b＝λ（ab）＝a（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）b＝（λa）｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab）；當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）b＝0b＝0＝λ（ab）． 總之，（λa）b＝λ（ab）； 同理a（λb）＝λ（ab）．（3）（a＋b）c＝ac＋bc（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝ca＋cb，∴（a＋b）c＝ac＋bc．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ab）c＝a（bc）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果ab＝cb，那么a＝c嗎？五、應(yīng)用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）（a＋b）＝ aa＋ab＋ba＋bb＝ a2＋2ab＋b2，22（a＋b）（a－b）＝aa－ab＋ba－bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。，求（a＋2b）（a－3b）． 解：（a＋2b）（a－3b）＝ a2－3ab＋2ba－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60176。－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。． 22因此，當(dāng)k＝177。時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1＋1＋2＋211cos90176。＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸＋＋．，b的夾角為銳角時(shí)，你能說明ab的幾何意義嗎？ 如圖403，ab，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系．，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2ab＝c2，∴2｜a｜｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。，…△ABC中，＝＝，問：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？解：由同理⊥，＝⊥，即（－）＝0，即＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．兩角和與差的余弦教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電