人教a版高中數(shù)學(xué)必修二234《平面與平面垂直的性質(zhì)》word教案-文庫吧
2024-11-13 11:32 本頁面
【正文】 ?BCDABCDABCDAB?????AB⊥ β. 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明過程如下： 圖 5 如圖 5，已知 α⊥ β,α∩β=a,AB? α， AB⊥ a于 B. 求證： AB⊥ β. 證明： 在平面 β內(nèi)作 BE⊥ CD垂足為 B,則 ∠ ABE就是二面角 αCDβ的平面角 . 由 α⊥ β,可知 AB⊥ AB⊥ CD， BE與 CD 是 β內(nèi)兩條相交直線 ,∴ AB⊥ β. ③ 問題 ③ 也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹(jǐn)⑹鰹椋? 求證：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi) .下面給出證明 . 如圖 6,已知 α⊥ β， P∈ α， P∈ a， a⊥ ： a? α. 圖 6 證明： 設(shè) α∩β=c，過點(diǎn) P在平面 α內(nèi)作直線 b⊥ c， ∵ α⊥ β,∴ b⊥ a⊥ β， P∈ a, ∵ 經(jīng)過一點(diǎn)只能有一條直線與平面 β垂直 ,∴ 直線 a應(yīng)與直線 b重合 .那么 a? α. 利用 “同一法 ”證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn) .一是作出符合題意的直線 b，不易想到，二是證明直線 b和直線 a重合，相對(duì)容易些 .點(diǎn) P 的位置由投影所給的圖及證明過程可知，可以在交線上，也可以不在交線上 . ④ 我認(rèn)為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因?yàn)榱Ⅲw幾何的幾乎所有問題都是圍繞它展開的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉(zhuǎn)化的橋梁，而且由它還可以轉(zhuǎn)化為線線平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開它 .兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定 理的特點(diǎn)就是幫我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理 . ⑤ 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是： “見到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線 ”. （四） 應(yīng)用示例 思路 1 例 1 如圖 7，已知 α⊥ β， a⊥ β,a? α,試判斷直線 a與平面 α的位置關(guān)系 . 圖 7 解 :在 α內(nèi)作垂直于 α與 β交線的垂線 b, ∵ α⊥ β, ∴ b⊥ β. ∵ a⊥ β, ∴ a∥ b. ∵ a? α, ∴ a∥ α. 變式訓(xùn)練 如圖 8,已知平面 α交平面 β于直線 、 β同垂直于平面 γ，又同平行于直線 ：(1)a⊥ γ； (2)b⊥ γ. 圖 8 圖 9 證明： 如圖 9, (1)設(shè) α∩γ=AB， β∩γ= γ內(nèi)任取一點(diǎn) P并在 γ內(nèi)作直線 PM⊥ AB， PN⊥ AC. ∵ γ⊥ α， ∴ PM⊥ a? α， ∴ PM⊥ a. 同理 ,PN⊥ PM? γ， PN? γ， ∴ a⊥ γ. (2)在 a上任取點(diǎn) Q，過 b與 Q作 一平面交 α于直線 a1，交 β于直線 a2.∵ b∥ α， ∴ b∥ a1. 同理 ,b∥ a2. ∵ a a2同過 Q且平行于 b， ∴ a a2重合 . 又 a1? α， a2? β， ∴ a a2都是 α、 β的交線，即都重合于 a. ∵ b∥ a1， ∴ b∥ a⊥ γ， ∴ b⊥ γ. 點(diǎn)評(píng)： 面面垂直的性質(zhì)定理作用是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，見到面面垂直首先考慮利用性質(zhì)定理，其口訣是： “見到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線 ”. 例 2 如圖 10，四棱錐 P—ABCD的底面是 AB=2， BC= 2 的矩形，側(cè)面 P
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