人教a版高中數(shù)學必修二232《平面與平面垂直的判定》word教案-文庫吧
2025-10-30 11:32 本頁面
【正文】 線 OA和 OB，則射線 OA和 OB組成 ∠ AOB. 圖 4 再取棱上另一點 O′，在 α和 β內(nèi)分別作 l的垂線 O′A′和 O′B′，則它們組成角 ∠ A′O′B′. 因為 OA∥ O′A′,OB∥ O′B′，所以 ∠ AOB及 ∠ A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同 , 即 ∠ AOB=∠ A′O′B′. 從上述結(jié)論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點在棱上的位置無關 . 由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 . 圖中的 ∠ AOB,∠ A′O′B′都是二面角 αlβ的平面角 . ③ 直二面角的定義 . 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少 度 .平面角是直角的二面角叫做直二面角 . 教室的墻面與地面，一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的 . 兩個平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角 . 兩個平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個相交平面所成的二面角為 直二面角，那么這兩個平面互相垂直 . 直二面角的畫法：如圖 5. 圖 5 ④ 兩個平面垂直的判定定理 . 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 . 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：???????ABAB? α⊥ β. 兩個平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖 6. 圖 6 證明如下： 已知 AB⊥ β， AB∩β=B， AB? α. 求證： α⊥ β. 分析： 要證 α⊥ β,需證 α和 β構成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其中一個平面角，并證明這個二面角的平面角是直角 . 證明： 設 α∩β=CD，則由 AB? α,知 AB、 CD 共面 . ∵ AB⊥ β， CD? β,∴ AB⊥ CD，垂足為點 B. 在平面 β內(nèi)過點 B作直線 BE⊥ CD, 則 ∠ ABE是二面角 αCDβ的平面角 . 又 AB⊥ BE，即二面角 αCDβ是直二面角 , ∴ α⊥ β. ⑤ 應用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂 線 ,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直 . （四） 應用示例 思路 1 例 1 如圖 7,⊙ O在平面 α內(nèi)， AB 是 ⊙ O的直徑， PA⊥ α， C為圓周上不同于 A、 B的任意一點 . 圖 7 求證：平面 PAC⊥ 平面 PBC. 證明： 設 ⊙ O所在平面為 α,由已知條件， PA⊥ α,BC? α,∴ PA⊥ BC. ∵ C為圓周上不同于 A、 B的任意一點 ,AB是 ⊙ O的直徑 , ∴ BC⊥ AC. 又 ∵ PA與 AC 是 △ PAC 所在平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴ BC⊥ 平面 PAC. ∵ BC?平面 PBC,∴ 平面 PAC⊥ 平面 PBC. 變式訓練 如圖 8，把等腰 Rt△ ABC沿斜邊 AB 旋轉(zhuǎn)至 △ ABD的位置，使 CD=AC， 圖 8 （ 1）求證：平面 ABD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 CBDA的余弦值 . （ 1） 證明： 由題設 ,知 AD=CD=BD, 作 DO⊥ 平面 ABC， O為垂足，則 OA=OB=OC. ∴ O是 △ ABC的外心，即 AB 的
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