人教a版高中數(shù)學(xué)必修二232《平面與平面垂直的判定》word教案-文庫(kù)吧
2024-11-13 11:32 本頁(yè)面
【正文】 線 OA和 OB，則射線 OA和 OB組成 ∠ AOB. 圖 4 再取棱上另一點(diǎn) O′，在 α和 β內(nèi)分別作 l的垂線 O′A′和 O′B′，則它們組成角 ∠ A′O′B′. 因?yàn)?OA∥ O′A′,OB∥ O′B′，所以 ∠ AOB及 ∠ A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同 , 即 ∠ AOB=∠ A′O′B′. 從上述結(jié)論說(shuō)明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān) . 由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 . 圖中的 ∠ AOB,∠ A′O′B′都是二面角 αlβ的平面角 . ③ 直二面角的定義 . 二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)二面角是多少 度 .平面角是直角的二面角叫做直二面角 . 教室的墻面與地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的 . 兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類(lèi)似，也是用它們所成的角為直角來(lái)定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角 . 兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為 直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直 . 直二面角的畫(huà)法：如圖 5. 圖 5 ④ 兩個(gè)平面垂直的判定定理 . 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 . 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：???????ABAB? α⊥ β. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖 6. 圖 6 證明如下： 已知 AB⊥ β， AB∩β=B， AB? α. 求證： α⊥ β. 分析： 要證 α⊥ β,需證 α和 β構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其中一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角 . 證明： 設(shè) α∩β=CD，則由 AB? α,知 AB、 CD 共面 . ∵ AB⊥ β， CD? β,∴ AB⊥ CD，垂足為點(diǎn) B. 在平面 β內(nèi)過(guò)點(diǎn) B作直線 BE⊥ CD, 則 ∠ ABE是二面角 αCDβ的平面角 . 又 AB⊥ BE，即二面角 αCDβ是直二面角 , ∴ α⊥ β. ⑤ 應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂 線 ,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直 . （四） 應(yīng)用示例 思路 1 例 1 如圖 7,⊙ O在平面 α內(nèi)， AB 是 ⊙ O的直徑， PA⊥ α， C為圓周上不同于 A、 B的任意一點(diǎn) . 圖 7 求證：平面 PAC⊥ 平面 PBC. 證明： 設(shè) ⊙ O所在平面為 α,由已知條件， PA⊥ α,BC? α,∴ PA⊥ BC. ∵ C為圓周上不同于 A、 B的任意一點(diǎn) ,AB是 ⊙ O的直徑 , ∴ BC⊥ AC. 又 ∵ PA與 AC 是 △ PAC 所在平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴ BC⊥ 平面 PAC. ∵ BC?平面 PBC,∴ 平面 PAC⊥ 平面 PBC. 變式訓(xùn)練 如圖 8，把等腰 Rt△ ABC沿斜邊 AB 旋轉(zhuǎn)至 △ ABD的位置，使 CD=AC， 圖 8 （ 1）求證：平面 ABD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 CBDA的余弦值 . （ 1） 證明： 由題設(shè) ,知 AD=CD=BD, 作 DO⊥ 平面 ABC， O為垂足，則 OA=OB=OC. ∴ O是 △ ABC的外心，即 AB 的
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