【正文】 的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)，并通過(guò)圖形的立體美，對(duì)稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識(shí)．任務(wù)分析因?yàn)榕卸ǘɡ淼淖C明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來(lái)處理．又因?yàn)槎ɡ淼恼撟C層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)多，所以這節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理的證明．突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點(diǎn)上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問(wèn)題．二、建立模型我們先來(lái)研究空間中兩條直線的垂直問(wèn)題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個(gè)位置，就可能與固定的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)兩條直線不會(huì)相交，也不會(huì)在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過(guò)平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來(lái)定義直線與平面垂直了．［問(wèn) 題］？教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個(gè)平面．（2）如果一條直線（AB）和一個(gè)平面（α）相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)O的任何直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個(gè)平面叫作直線的垂面．交點(diǎn)叫作垂足．垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段．垂線段的長(zhǎng)度叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的距離．，直線l⊥平面α，直線mα，問(wèn)l與m的關(guān)系怎樣．學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時(shí)，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖182．？教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來(lái)判定線面垂直呢？學(xué)生討論后，教師總結(jié)．（1）因?yàn)閮蓷l相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說(shuō)明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面． 如圖183，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．定理 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖184，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．求證：l∥m．證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過(guò)直線m與平面α的交點(diǎn)B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因?yàn)橹本€m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過(guò)直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］．已知：平面α和一點(diǎn)P（如圖185）．求證：過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點(diǎn)P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過(guò)點(diǎn)P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條． ，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長(zhǎng)10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因?yàn)锳B＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90176。第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 19 平面與平面垂直平面與平面垂直教材分析兩個(gè)平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過(guò)這節(jié)的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實(shí)現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導(dǎo)高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導(dǎo)低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點(diǎn)是判定定理及性質(zhì)定理，難點(diǎn)是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．教學(xué)目標(biāo)，以及兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運(yùn)用概念和定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明．，邏輯思維能力，知識(shí)遷移能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法觀察、研究現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的能力，整理知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)和樂(lè)于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．任務(wù)分析判定定理證明的難點(diǎn)是畫輔助線．為了突破這一難點(diǎn)，可引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：在沒(méi)有得到判定定理時(shí)，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來(lái)證明，那么，哪個(gè)平面與這兩個(gè)平面都垂直呢？對(duì)性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學(xué)定理的教學(xué)是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個(gè)過(guò)程組成的，所以應(yīng)把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動(dòng)內(nèi)容．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？二、建立模型如圖191，兩個(gè)平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE為直角時(shí)，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，并且這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直．平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問(wèn) 題］，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？如圖191，只要α經(jīng)過(guò)β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面互相垂直．“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學(xué)生用教科書、桌面、筆擺模型．通過(guò)模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α⊥β時(shí)，只有在一個(gè)平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會(huì)垂直于另一個(gè)平面（如β）．于是，有定理：定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．（先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β．分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒(méi)有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因?yàn)棣痢挺?，所以可根?jù)二面角的定義作出這個(gè)二面角的平面角．在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD．因?yàn)锳B⊥CD，所以∠ABE是二面角αCDβ的平面角，并且∠ABE＝90176。即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點(diǎn)不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖187）． 求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因?yàn)閘⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過(guò)點(diǎn)Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．［練習(xí)］ ：如圖188，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．ABCD，O是它對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P在α外，且：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．，有一個(gè)平面與一條已知直線垂直，問(wèn)：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：（1）在平面α內(nèi)，通過(guò)線段AA′中點(diǎn)B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．（1），如果平面α通過(guò)線段AA′的中點(diǎn)O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點(diǎn)A，A′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱，平面α叫作A，A′的對(duì)稱平面．如圖1810（2），如果一個(gè)圖形Ｆ內(nèi)的所有點(diǎn)關(guān)于平面α的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對(duì)稱變換．如果一個(gè)圖形Ｆ通過(guò)鏡面對(duì)稱變換后的圖形仍是它自身，則這個(gè)圖形被稱為鏡面對(duì)稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問(wèn)題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過(guò)的空間圖形，有哪些是鏡面對(duì)稱圖形？（3）寫一篇研究鏡面對(duì)稱的小論文，探索鏡面對(duì)稱的性質(zhì)和應(yīng)用．點(diǎn) 評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點(diǎn)是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實(shí)際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識(shí)．同時(shí)，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，符合新課改精神．第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和