【正文】 的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點，并通過圖形的立體美，對稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識．任務(wù)分析因為判定定理的證明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理．又因為定理的論證層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識多，所以這節(jié)課的難點是判定定理的證明．突破難點的方法是充分運(yùn)用實物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學(xué)設(shè)計一、問題情境上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問題．二、建立模型我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個位置，就可能與固定的直線沒有公共點，這時兩條直線不會相交，也不會在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了．［問 題］？教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個平面．（2）如果一條直線（AB）和一個平面（α）相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個平面叫作直線的垂面．交點叫作垂足．垂線上任一點到垂足間的線段，叫作這點到這個平面的垂線段．垂線段的長度叫作這個點到平面的距離．，直線l⊥平面α，直線mα，問l與m的關(guān)系怎樣．學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖182．？教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？學(xué)生討論后，教師總結(jié)．（1）因為兩條相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． 如圖183，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．定理 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖184，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．求證：l∥m．證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過直線m與平面α的交點B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因為直線m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］．已知：平面α和一點P（如圖185）．求證：過點P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過點P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過點P與α垂直的直線只有一條． ，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因為AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90176。第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 19 平面與平面垂直平面與平面垂直教材分析兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導(dǎo)高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導(dǎo)低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點是判定定理及性質(zhì)定理，難點是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．教學(xué)目標(biāo)，以及兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運(yùn)用概念和定理進(jìn)行有關(guān)計算與證明．，邏輯思維能力，知識遷移能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法觀察、研究現(xiàn)實現(xiàn)象的能力，整理知識、解決問題的能力．，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．任務(wù)分析判定定理證明的難點是畫輔助線．為了突破這一難點，可引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：在沒有得到判定定理時，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個平面與這兩個平面都垂直呢？對性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學(xué)定理的教學(xué)是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個過程組成的，所以應(yīng)把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動內(nèi)容．教學(xué)設(shè)計一、問題情境，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？二、建立模型如圖191，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點B，過點B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE為直角時，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問 題］，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？如圖191，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直．“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學(xué)生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α⊥β時，只有在一個平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會垂直于另一個平面（如β）．于是，有定理：定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．（先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β．分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因為α⊥β，所以可根據(jù)二面角的定義作出這個二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD．因為AB⊥CD，所以∠ABE是二面角αCDβ的平面角，并且∠ABE＝90176。即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖187）． 求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因為l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．［練習(xí)］ ：如圖188，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．ABCD，O是它對角線的交點，點P在α外，且：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．，有一個平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：（1）在平面α內(nèi)，通過線段AA′中點B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．（1），如果平面α通過線段AA′的中點O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點A，A′關(guān)于平面α成鏡面對稱，平面α叫作A，A′的對稱平面．如圖1810（2），如果一個圖形Ｆ內(nèi)的所有點關(guān)于平面α的對稱點構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對稱變換．如果一個圖形Ｆ通過鏡面對稱變換后的圖形仍是它自身，則這個圖形被稱為鏡面對稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過的空間圖形，有哪些是鏡面對稱圖形？（3）寫一篇研究鏡面對稱的小論文，探索鏡面對稱的性質(zhì)和應(yīng)用．點 評這篇案例設(shè)計完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識．同時，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實踐能力，符合新課改精神．第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和