【正文】 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本階段的學(xué)生思維能力已經(jīng)非常成熟，能夠有自己獨(dú)立的思考，所以應(yīng)該積極發(fā)揮這種優(yōu)勢，讓學(xué)生獨(dú)立思考探索。求B．（精確到1176。B＝176。），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．四、拓展延伸出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同解決．＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60176。與30176。求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30176?？蛇M(jìn)行類似地處理，cos105176。＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．兩角和與差的余弦教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力．，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．、求值和恒等式證明．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺主動(dòng)地學(xué)習(xí)．教學(xué)過程一、問題情景我們已經(jīng)學(xué)過誘導(dǎo)公式，如可以這樣來認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問題：右圖411是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢比A點(diǎn)高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點(diǎn)B離開水平線AD的高度BE？由圖可知BE＝asin（α＋β）．我們的問題是：如何用α和β的三角函數(shù)來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α177。＋b＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。b）c＝a（bb）；當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）求a即AB⊥BE．又因?yàn)镃D三、解釋應(yīng)用 ［例 題］：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長．β，BEβ，所以AB⊥β．解：連接BC． 因?yàn)锳C⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因?yàn)锽D⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． ：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖194）．求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60176。a＝｜a｜2，于是｜a｜＝a｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ac＝aa－a＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）＝⊥的差或者分解成60176。．對(duì)于（3），可以把A＋B角看成一個(gè)整體，去替換Cαβ中的α角，用B角替換β角．2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30176。角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準(zhǔn)備多長的鋼絲繩？設(shè)電線桿與地面接觸點(diǎn)為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點(diǎn)為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75176。－135176。20′，求BC的長． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個(gè)三角形為確定的三角形，那么怎樣去計(jì)算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點(diǎn)間的距離公式）如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．∵｜c(diǎn)｜2＝c）（1）ａ＝，ｂ＝，C＝176。同時(shí)本節(jié)課的內(nèi)容也是之后解決空間幾何位置關(guān)系問題的必要基礎(chǔ)。從而引出本節(jié)課的課題《平面與平面垂直的性質(zhì)》(二)新知探索接下來是教學(xué)中最重要的新知探索環(huán)節(jié)，就剛才導(dǎo)入中提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生感知在相鄰兩個(gè)相互垂直的平面中，有哪些特殊的直線、平面的關(guān)系。(三)課堂練習(xí)當(dāng)然光得出結(jié)論還是不夠的，作為一節(jié)數(shù)學(xué)課要及時(shí)對(duì)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用，我設(shè)計(jì)了如下課堂練習(xí)：例1：把黑板看成一個(gè)平面，它和地面所在的平面是垂直的。(三)情感態(tài)度價(jià)值觀在自主探索中感受到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！郆≈31176。邊長精確到1cm）分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問題，可由三角形內(nèi)角和定理先求出第三個(gè)角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，于是可用正弦定理求出b邊的對(duì)角B的正弦，sinB≈，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個(gè)值（如圖438），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學(xué)生在解題時(shí)容易丟掉一組解，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形上尋找漏掉的解．2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41176。AB與水平的夾角為6176。＋α）－30176。＋α）cos（α－54176。）．＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計(jì)算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來求解．［練習(xí)］1.（1）求sin75176?？梢园l(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60176。b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說明平行四邊形對(duì)角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系．，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a（a－3b）＝ a2－3ab，那么a＝c嗎？五、應(yīng)用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對(duì)任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2ab）． 總之，（λa）＝－10． ［練習(xí)］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點(diǎn)不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖187）． 求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因?yàn)閘⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點(diǎn)Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．［練習(xí)］ ：如圖188，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．ABCD，O是它對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P在α外，且：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．，有一個(gè)平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：（1）在平面α內(nèi)，通過線段AA′中點(diǎn)B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．（1），如果平面α通過線段AA′的中點(diǎn)O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點(diǎn)A，A′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱，平面α叫作A，A′的對(duì)稱平面．如圖1810（2），如果一個(gè)圖形Ｆ內(nèi)的所有點(diǎn)關(guān)于平面α的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對(duì)稱變換．如果一個(gè)圖形Ｆ通過鏡面對(duì)稱變換后的圖形仍是它自身，則這個(gè)圖形被稱為鏡面對(duì)稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過的空間圖形，有哪些是鏡面對(duì)稱圖形？（3）寫一篇研究鏡面對(duì)稱的小論文，探索鏡面對(duì)稱的性質(zhì)和應(yīng)用．點(diǎn) 評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點(diǎn)是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實(shí)際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識(shí)．同時(shí)，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，符合新課改精神．第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示