【正文】 第一篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇 19 平面與平面垂直平面與平面垂直教材分析兩個平面垂直的判定定理及性質定理是平面與平面位置關系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學習可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實現(xiàn)利用低維位置關系推導高維位置關系，利用高維位置關系也能推導低維位置關系，充分體現(xiàn)了轉化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點是判定定理及性質定理，難點是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．教學目標，以及兩個平面垂直的判定定理和性質定理，能運用概念和定理進行有關計算與證明．，邏輯思維能力，知識遷移能力，運用數(shù)學知識和數(shù)學方法觀察、研究現(xiàn)實現(xiàn)象的能力，整理知識、解決問題的能力．，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神．任務分析判定定理證明的難點是畫輔助線．為了突破這一難點，可引導學生這樣分析：在沒有得到判定定理時，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個平面與這兩個平面都垂直呢？對性質定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學定理的教學是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個過程組成的，所以應把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動內(nèi)容．教學設計一、問題情境，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質？二、建立模型如圖191，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點B，過點B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE為直角時，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問 題］，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？如圖191，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直．“BA⊥β”和結論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當α⊥β時，只有在一個平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會垂直于另一個平面（如β）．于是，有定理：定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．（先分析命題的條件和結論，然后畫出圖形，再結合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β．分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因為α⊥β，所以可根據(jù)二面角的定義作出這個二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD．因為AB⊥CD，所以∠ABE是二面角αCDβ的平面角，并且∠ABE＝90176。，即AB⊥BE．又因為CD三、解釋應用 ［例 題］：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長．β，BEβ，所以AB⊥β．解：連接BC． 因為AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因為BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． ：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖194）．求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60176。．證明：（1）如圖194（2），因為AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因為平面ABD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如圖194（1），在Rt△BAC中，因為AB＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．如圖194（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60176。． ［練習］，有一個正三棱錐體的零件，P是側面ACD上一點．問：如何在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由．：如圖196，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學中去？試寫一篇研究性的小論文．點 評這篇案例結構完整，構思新穎．案例開始以一個生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學科理論和學生的生活實際相結合，激起了學生探索問題的熱情．對性質定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學生的認真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學生的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神．第二篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇 18 直線與平面垂直直線與平面垂直教材分析直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎上進行的．它是直線與直線垂直的延伸，是學習習近平面與平面垂直以及有關距離、空間角、多面體、旋轉體的基礎．這節(jié)內(nèi)容的學習可完善知識結構，并對進一步培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．直線與平面垂直的定義、判定定理、性質定理是這節(jié)課的重點．學習直線與平面垂直的性質定理時，應該注意引導學生把直線和直線的關系問題有目的地轉化為直線與平面的關系問題，這是這節(jié)課的難點．教學目標，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質． 、判定定理和性質定理及其證明，進一步培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象、計算能力，并且加強對思維能力的訓練．，培養(yǎng)學生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點，并通過圖形的立體美，對稱美，培養(yǎng)教學審美意識．任務分析因為判定定理的證明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理．又因為定理的論證層次多，構圖復雜，輔助線多，運用平面幾何的知識多，所以這節(jié)課的難點是判定定理的證明．突破難點的方法是充分運用實物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學設計一、問題情境上海的標志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質呢？這將是本節(jié)課要研究的問題．二、建立模型我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個位置，就可能與固定的直線沒有公共點，這時兩條直線不會相交，也不會在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了．［問 題］？教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉．教師讓學生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構成的集合是一個平面．（2）如果一條直線（AB）和一個平面（α）相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個平面叫作直線的垂面．交點叫作垂足．垂線上任一點到垂足間的線段，叫作這點到這個平面的垂線段．垂線段的長度叫作這個點到平面的距離．，直線l⊥平面α，直線mα，問l與m的關系怎樣．學生討論后，得出結論：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．？學生討論后，教師總結：畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖182．？教師引導：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？學生討論后，教師總結．（1）因為兩條相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． 如圖183，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．讓學生總結：判定直線與平面垂直的方法．（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結論呢？ 學生討論后，得出結論：同垂直于一個平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質．定理 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖184，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．求證：l∥m．證明：假設直線ｍ不與直線l平行．過直線m與平面α的交點B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因為直線m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．三、解釋應用 ［例 題］．已知：平面α和一點P（如圖185）．求證：過點P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點P在α外或內(nèi)，設PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過點P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過點P與α垂直的直線只有一條． ，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因為AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝