【正文】 第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 19 平面與平面垂直平面與平面垂直教材分析兩個(gè)平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實(shí)現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導(dǎo)高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導(dǎo)低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點(diǎn)是判定定理及性質(zhì)定理，難點(diǎn)是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．教學(xué)目標(biāo)，以及兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運(yùn)用概念和定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明．，邏輯思維能力，知識(shí)遷移能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法觀察、研究現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的能力，整理知識(shí)、解決問題的能力．，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．任務(wù)分析判定定理證明的難點(diǎn)是畫輔助線．為了突破這一難點(diǎn)，可引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：在沒有得到判定定理時(shí)，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個(gè)平面與這兩個(gè)平面都垂直呢？對(duì)性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學(xué)定理的教學(xué)是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個(gè)過程組成的，所以應(yīng)把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動(dòng)內(nèi)容．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？二、建立模型如圖191，兩個(gè)平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點(diǎn)B，過點(diǎn)B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE為直角時(shí)，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，并且這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直．平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問 題］，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？如圖191，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面互相垂直．“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學(xué)生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α⊥β時(shí)，只有在一個(gè)平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會(huì)垂直于另一個(gè)平面（如β）．于是，有定理：定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．（先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β．分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因?yàn)棣痢挺?，所以可根?jù)二面角的定義作出這個(gè)二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作BE⊥CD．因?yàn)锳B⊥CD，所以∠ABE是二面角αCDβ的平面角，并且∠ABE＝90176。，即AB⊥BE．又因?yàn)镃D三、解釋應(yīng)用 ［例 題］：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長(zhǎng)．β，BEβ，所以AB⊥β．解：連接BC． 因?yàn)锳C⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因?yàn)锽D⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． ：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖194）．求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60176。．證明：（1）如圖194（2），因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因?yàn)槠矫鍭BD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如圖194（1），在Rt△BAC中，因?yàn)锳B＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．如圖194（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60176。． ［練習(xí)］，有一個(gè)正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點(diǎn)．問：如何在面ACD上過點(diǎn)P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由．：如圖196，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點(diǎn)． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學(xué)中去？試寫一篇研究性的小論文．點(diǎn) 評(píng)這篇案例結(jié)構(gòu)完整，構(gòu)思新穎．案例開始以一個(gè)生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個(gè)例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學(xué)科理論和學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，激起了學(xué)生探索問題的熱情．對(duì)性質(zhì)定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學(xué)生的認(rèn)真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學(xué)生的主體意識(shí)和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 18 直線與平面垂直直線與平面垂直教材分析直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它是直線與直線垂直的延伸，是學(xué)習(xí)習(xí)近平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)．這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點(diǎn)．學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線和直線的關(guān)系問題有目的地轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問題，這是這節(jié)課的難點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)，直線與平面垂直的定義，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)． 、判定定理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象、計(jì)算能力，并且加強(qiáng)對(duì)思維能力的訓(xùn)練．，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)，并通過圖形的立體美，對(duì)稱美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識(shí)．任務(wù)分析因?yàn)榕卸ǘɡ淼淖C明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來處理．又因?yàn)槎ɡ淼恼撟C層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)多，所以這節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理的證明．突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線垂直于地面，在這一點(diǎn)上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問題．二、建立模型我們先來研究空間中兩條直線的垂直問題． 在平面內(nèi)，如果兩條直線互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個(gè)位置，就可能與固定的直線沒有公共點(diǎn)，這時(shí)兩條直線不會(huì)相交，也不會(huì)在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線互相垂直的一般定義．如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．有了直線與直線垂直的概念，我們就可以利用直線與直線垂直來定義直線與平面垂直了．［問 題］？教師演示：如圖，直線l是線段AB的中垂線．固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)．教師讓學(xué)生討論：（1）直線l的軌跡是怎樣的圖形？（2）如何定義直線與平面垂直？教師明晰：（1）線段AB所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個(gè)平面．（2）如果一條直線（AB）和一個(gè)平面（α）相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直，這條直線叫作平面的垂線，這個(gè)平面叫作直線的垂面．交點(diǎn)叫作垂足．垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段．垂線段的長(zhǎng)度叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的距離．，直線l⊥平面α，直線mα，問l與m的關(guān)系怎樣．學(xué)生討論后，得出結(jié)論：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：畫直線和平面垂直時(shí)，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖182．？教師引導(dǎo)：根據(jù)定義判定直線與平面垂直是困難的，如何用盡可能少的線線垂直來判定線面垂直呢？學(xué)生討論后，教師總結(jié)．（1）因?yàn)閮蓷l相交直線確定一平面，所以只要直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，就可以判定直線和平面垂直．（2）兩條平行直線也確定一平面，直線和這兩條平行直線垂直，不能判定直線就和平面垂直（教師作演示說明）．于是，歸納出直線和平面垂直的判定定理．定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直． 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面． 如圖183，如果直線l∥m，l⊥平面α，則l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b．根據(jù)空間兩直線垂直的定義，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．讓學(xué)生總結(jié)：判定直線與平面垂直的方法．（1）定 義．（2）判定定理．（3）推 論．，同垂直于一條直線的兩條直線平行，那么，在空間幾何中，又有什么類似的結(jié)論呢？ 學(xué)生討論后，得出結(jié)論：同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行．于是有直線和平面垂直的性質(zhì)．定理 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行． 已知：如圖184，直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為A，B．求證：l∥m．證明：假設(shè)直線ｍ不與直線l平行．過直線m與平面α的交點(diǎn)B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知，m′⊥α．設(shè)ｍ和m′確定的平面為β，α與β的交線為ａ，因?yàn)橹本€m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線ａ．因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線有且僅有一條，所以直線m和m′必重合，即l∥m．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］．已知：平面α和一點(diǎn)P（如圖185）．求證：過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點(diǎn)P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A（或P）．如果過點(diǎn)P，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝ａ，于是在平面β內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線ａ，這是不可能的．所以過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條． ，有一根旗桿AB高8m，它的頂端Ａ掛著兩條長(zhǎng)10m的繩子．拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)C，D（和旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因?yàn)锳B＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝