人教a版高中數(shù)學必修二234平面與平面垂直的性質word教案(編輯修改稿)
2025-01-08 11:32 本頁面
【文章內容簡介】 AB 是等邊三角形，且側面 PAB⊥ 底面 ABCD. 圖 10 圖 11 （ 1）證明側面 PAB⊥ 側面 PBC； （ 2）求側棱 PC與底面 ABCD所成的角； （ 3）求直線 AB 與平面 PCD的距離 . （ 1） 證明： 在矩形 ABCD中， BC⊥ AB, 又 ∵ 面 PAB⊥ 底面 ABCD,側面 PAB∩底面 ABCD=AB,∴ BC⊥ 側面 PAB. 又 ∵ BC?側面 PBC,∴ 側面 PAB⊥ 側面 PBC. （ 2） 解： 如圖 11,取 AB 中點 E，連接 PE、 CE,又 ∵△ PAB是等邊三角形 ,∴ PE⊥ AB. 又 ∵ 側面 PAB⊥ 底面 ABCD， ∴ PE⊥ 面 ABCD. ∴∠ PCE為側棱 PC與底面 ABCD所成角 . PE= 23 BA= 3 ,CE= 22 BCBE ? = 3 , 在 Rt△ PEC中， ∠ PCE=45176。為所求 . （ 3） 解： 在矩形 ABCD中， AB∥ CD, ∵ CD?側面 PCD， AB ? 側面 PCD， ∴ AB∥ 側面 PCD. 取 CD中點 F，連接 EF、 PF，則 EF⊥ AB. 又 ∵ PE⊥ AB,∴ AB⊥ 平面 ∵ AB∥ CD, ∴ CD⊥ 平面 PEF.∴ 平面 PCD⊥ 平面 PEF. 作 EG⊥ PF，垂足為 G，則 EG⊥ 平面 PCD. 在 Rt△ PEF中， EG= 530??PFECPE 為所求 . 變式訓練 如圖 12，斜三棱柱 ABC—A1B1C1的棱長都是 a，側棱與底面成 60176。角，側面 BCC1B1⊥面 AB1C1與底面 ABC所成二面角的大小 . 圖 12 活動 :請同學考慮面 BB1C1C⊥ 面 ABC 及棱長相等兩個條件，師生共同完成表述過程，并作出相應輔助線 . 解： ∵ 面 ABC∥ 面 A1B1C1，則面 BB1C1C∩面 ABC=BC, 面 BB1C1C∩面 A1B1C1=B1C1,∴ BC∥ B1C1，則 B1C1∥ 面 ABC. 設所求兩面交線為 AE，即二面角的棱為 AE, 則 B1C1∥ AE，即 BC∥ AE. 過 C1作 C1D⊥ BC于 D， ∵ 面 BB1C1C⊥ 面 ABC, ∴ C1D⊥ 面 ABC， C1D⊥ BC. 又 ∠ C1CD=60176。,CC1=a,故 CD=2a ,即 D為 BC 的中點 . 又 △ ABC是等邊三角形 ,∴ BC⊥ AD. 那么有 BC⊥ 面 DAC1,即 AE⊥ 面 DAC1. 故 AE⊥ AD， AE⊥ AC1, ∠ C1AD 就是所求二面角的平面角 . ∵ C1D= 23 a， AD= 23 a， C1D⊥ AD,故 ∠ C1AD=45176。. 點評 :利用平面與平面垂直的性質定理 ,找出平面的垂線是解決問題的關鍵 . 思路 2 例 1 如圖 13，把等腰直角三 角形 ABC沿斜邊 AB 旋轉至 △ ABD的位置，使 CD=AC, 圖 13 （ 1）求證：平面 ABD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 CBDA的余弦值 . （ 1） 證明： (證法一 ):由題設 ,知 AD=CD=BD,作 DO⊥ 平面 ABC， O 為垂足，則OA=OB=OC. ∴ O是 △ ABC的外心，即 AB 的中點 . ∴ O∈ AB，即 O∈ 平面 ABD. ∴ OD?平面 ABD.∴ 平面 ABD⊥ 平面
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