人教a版高中數(shù)學必修二232平面與平面垂直的判定word教案(編輯修改稿)
2025-01-08 11:32 本頁面
【文章內容簡介】 中點 . ∴ O∈ AB，即 O∈ 平面 ABD. ∴ OD?平面 ABD. ∴ 平面 ABD⊥ 平面 ABC. （ 2） 解 :取 BD的中點 E，連接 CE、 OE、 OC, ∵△ BCD為正三角形， ∴ CE⊥ BD. 又 △ BOD為等腰直角三角形 ,∴ OE⊥ BD. ∴∠ OEC為二面角 CBDA的平面角 . 同（ 1）可證 OC⊥ 平面 ABD. ∴ OC⊥ OE.∴△ COE為直角三角形 . 設 BC=a，則 CE= a23 ， OE= a21 ， ∴ cos∠ OEC= 33?CEOE . 點評 ： 欲證面面垂直關鍵在于在一個平面內找到另一個平面的垂線 . 例 2 如圖 9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為 60176。，堤面上有一條直道 CD，它與堤角的水平線 AB 的夾角為 30176。，沿這條直道從堤腳向上行走到 10 m 時人升高了多少？（精確到 m） 圖 9 解： 取 CD上一點 E，設 CE=10 m，過點 E作直線 AB 所在的水平面的垂線 EG，垂足 為 G，則線段 EG的長就是所求的高度 . 在河堤斜面內，作 EF⊥ AB，垂足為 F，并連接 FG, 則 FG⊥ AB,即 ∠ EFG就是河堤斜面與水平面 ABG所成二面角的平面角 , ∠ EFG=60176。,由此 ,得 EG=EFsin60176。=CEsin30176。sin60176。=10 2352321 ?? ≈（ m） . 答：沿直道行走到 10 m時人升高約 m. 變式訓練 已知二面角 αABβ等于 45176。， CD? α， D∈ AB， ∠ CDB=45176。.求 CD與平面 β所成的角 . 解： 如圖 10，作 CO⊥ β交 β于點 O，連接 DO，則 ∠ CDO為 DC與 β所成的角 . 圖 10 過點 O作 OE⊥ AB 于 E，連接 CE，則 CE⊥ AB. ∴∠ CEO為二面角 αABβ的平面角， 即 ∠ CEO=45176。. 設 CD=a,則 CE= a22 ,∵ CO⊥ OE， OC=OE， ∴ CO= a21 .∵ CO⊥ DO,∴ sin∠ CDO= 21?CDCO . ∴∠ CDO=30176。,即 DC 與 β成 30176。角 . 點評： 二面角是本節(jié)的另一個重點，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個半平面α內找一點 C，作另一個半平面 β的垂線，垂足為 O,然后通過垂足 O作棱 AB 的垂線，垂足為 E,連接 AE,則 ∠ CEO為二面角 αABβ的平面角 .這一過程要求學生熟記 . 思路 2 例 1 如圖 11， ABCD是菱形， PA⊥ 平 面 ABCD， PA=AD=2， ∠ BAD=60176。. 圖 11 （ 1）求證：平面 PBD⊥ 平面 PAC； （ 2）求點 A到平面 PBD的距離； （ 3）求二面角 APBD的余弦值 . （ 1） 證明： 設 AC 與 BD交于點 O，連接 PO, ∵ 底面 ABCD是菱形 ,∴ BD⊥ AC. ∵ PA⊥ 底面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴ 的 PA⊥ BD. 又 PA∩AC=A,∴ BD⊥ 平面 PAC. 又 ∵ BD?平面 PBD,∴ 平面 PBD⊥ 平面 PAC. (2)解： 作 AE⊥ PO于 點 E,∵ 平面 PBD⊥ 平面 PAC,∴ AE⊥ 平面 PBD. ∴ AE 為點 A到平面 PBD的距離 . 在 △ PAO 中 ,PA=2,AO=2cos30176。= 3 ,∠ PAO=90176。, ∵ PO= 722 ?? AOPA
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