高中數(shù)學(xué)231直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)課件新人教a版必修2(編輯修改稿)
2024-12-24 08:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 平面 ABC ， ∴ AA 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ， ∴ A 1 C 1 ⊥ AA 1 .又 ∠ B 1 A 1 C 1 ＝ 90176。 ， ∴ A1C1⊥ A1B1.而 A1B1∩ AA1＝ A1， ∴ A1C1⊥ 平面 AA1B1B .又 AD ? 平面 AA1B1B ， ∴ A1C1⊥ AD . 由已知計(jì)算得 AD ＝ 2 ， A1D ＝ 2 ， AA1＝ 2. ∴ AD2＋ A1D2＝ AA21， ∴ A1D ⊥ AD .∵ A1C1∩ A1D ＝ A1， ∴ AD ⊥ 平面 A1DC1. [ 類題通法 ] 1 ． 用線面垂直的判定定理判斷一條直線與此平面垂直時(shí)，需在平面內(nèi)找兩條相交直線，證明一條直線同時(shí)垂直于這兩條相交直線，這是證明線面垂直的一個(gè)常用方法． 2 ．線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系． 線線垂直線面垂直的判定定理線面垂直的定義線面垂直． 3 ．解決線面垂直的常用方法： ( 1) 利用勾股定理的逆定理． ( 2) 利用等腰三角形底邊的中線就是底邊的高線． ( 3) 利用線面垂直的定義． ( 4) 利用平行轉(zhuǎn)化，即 a ∥ b ， b ⊥ c ，則 a ⊥ c . [ 活學(xué)活用 ] 2. 如圖，直角三角形 A BC 所在平面外有一點(diǎn) S ，且 SA ＝ SB ＝SC ，點(diǎn) D 為斜邊 AC 的中點(diǎn)． ( 1) 求證： SD ⊥ 平面 AB C ； ( 2) 若 AB ＝ BC ，求證： BD ⊥ 平面 S AC . 證明： ( 1) 因?yàn)?SA ＝ SC ， D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 SD ⊥ AC .則在 Rt △ ABC 中， 有 AD ＝ DC ＝ BD ，所以 △ ADS ≌△ BDS . 所以 ∠ BDS ＝ ∠ ADS ＝ 90176。 ，即 SD ⊥ BD . 又 AC ∩ BD ＝ D ， AC ， BD ? 平面 A BC ，所以 SD ⊥ 平面 AB C . ( 2) 因?yàn)?AB ＝ BC ， D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 BD ⊥ AC . 又由 ( 1) 知 SD ⊥ BD ，于是 BD 垂直于平面 S AC 內(nèi)的兩條相交直線，所以 BD ⊥ 平面 S A C . 直線與平面所成角 [ 例 3] 如圖所示，在正方體 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 是棱 DD 1 的中點(diǎn)．求直線BE 與平面 ABB 1 A 1 所成的角的正弦值． [ 解 ] 取 AA 1 的中點(diǎn) M ，連接 EM ， BM ， 因?yàn)?E 是 DD 1 的中點(diǎn)，四邊形 ADD 1 A 1 為正方形， 所以 EM ∥ AD . 又在正方體 A BC D － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AD ⊥ 平面 A BB 1 A 1 ， 所以 EM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， 從而 BM 為直線 BE 在平面 AB B1A1上的射影， ∠ EBM 即為直線 BE 與平面 AB B1A1所成的角． 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2 ，則 EM ＝ AD ＝ 2 ， BE ＝ 22＋ 22＋ 12＝ 3 ，
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