高中數(shù)學(xué)234平面與平面垂直的性質(zhì)教案新人教a版必修2(編輯修改稿)
2025-01-13 20:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 例 2 如圖 10，四棱錐 P— ABCD的底面是 AB=2， BC= 2 的矩形，側(cè)面 PAB是等邊三角形，且側(cè)面 PAB⊥ 底面 ABCD. 圖 10 圖 11 （ 1）證明側(cè)面 PAB⊥ 側(cè)面 PBC； （ 2）求側(cè)棱 PC與底面 ABCD所成的角； （ 3）求直線(xiàn) AB與平面 PCD的距離 . （ 1） 證明： 在矩形 ABCD中， BC⊥AB, 又 ∵ 面 PAB⊥ 底面 ABCD,側(cè)面 PAB∩ 底面 ABCD=AB,∴BC⊥ 側(cè)面 PAB. 又 ∵BC ? 側(cè)面 PBC,∴ 側(cè)面 PAB⊥ 側(cè)面 PBC. （ 2） 解： 如圖 11,取 AB中點(diǎn) E，連接 PE、 CE,又 ∵△PAB 是等邊三角形 ,∴ PE⊥AB. 又 ∵ 側(cè)面 PAB⊥ 底面 ABCD， ∴PE⊥ 面 ABCD. ∴∠PCE 為側(cè)棱 PC與底面 ABCD所成角 . PE=23BA= 3 ,CE= 22 BCBE ? = 3 , 在 Rt△PEC 中， ∠PCE=45176。 為所求 . （ 3） 解： 在矩形 ABCD中， AB∥CD, ∵CD ? 側(cè)面 PCD， AB? 側(cè)面 PCD， ∴AB∥ 側(cè)面 PCD. 取 CD中點(diǎn) F，連接 EF、 PF，則 EF⊥AB. 又 ∵PE⊥AB,∴AB⊥ 平面 ∵AB∥CD, ∴CD⊥ 平面 PEF.∴ 平面 PCD⊥ 平面 PEF. 作 EG⊥PF ，垂足為 G，則 EG⊥ 平面 PCD. 在 Rt△PEF 中， EG= 530??PFECPE 為所求 . 變式訓(xùn)練 如圖 12，斜三棱柱 ABC— A1B1C1的棱長(zhǎng)都是 a，側(cè)棱與底面成 60176。 角，側(cè)面 BCC1B1⊥ 面 AB1C1與底面 ABC所成二面角的大小 . 圖 12 活動(dòng) :請(qǐng)同學(xué)考慮面 BB1C1C⊥ 面 ABC 及棱長(zhǎng)相等兩個(gè)條件，師生共同完成表述過(guò)程，并作出相應(yīng)輔助線(xiàn) . 解： ∵ 面 ABC∥ 面 A1B1C1，則面 BB1C1C∩ 面 ABC=BC, 面 BB1C1C∩ 面 A1B1C1=B1C1,∴BC∥B 1C1，則 B1C1∥ 面 ABC. 設(shè)所求兩面交線(xiàn)為 AE，即二面角的棱為 AE, 則 B1C1∥AE ，即 BC∥AE. 過(guò) C1作 C1D⊥BC 于 D， ∵ 面 BB1C1C⊥ 面 ABC, ∴C 1D⊥ 面 ABC， C1D⊥BC. 又 ∠C 1CD=60176。,CC 1=a,故 CD=2a ,即 D為 BC的中點(diǎn) . 又 △ABC 是等邊三角形 ,∴B C⊥AD. 那么有 BC⊥ 面 DAC1,即 AE⊥ 面 DAC1. 故 AE⊥AD ， AE⊥AC 1, ∠C 1AD就是所求二面角的平面角 . ∵C 1D= 23 a， AD= 23 a， C1D⊥AD, 故 ∠C 1AD=45176。. 點(diǎn)評(píng) :利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理 ,找出平面的垂線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 . 思路 2 例 1 如圖 13，把等腰直角三角形 ABC沿斜邊 AB旋轉(zhuǎn)至 △ABD 的位置，使 CD=AC, 圖 13 （ 1）求證：平面 ABD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 CBDA的余弦值 . （ 1） 證明： (證法一 ):由題設(shè) ,知 AD=CD=BD,作 DO⊥ 平面 ABC， O為垂足，則 OA=OB=OC. ∴O 是 △ABC 的外心，即 AB的中點(diǎn) . ∴O ∈ AB，即 O∈ 平面 ABD.
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