高中數(shù)學234平面與平面垂直的性質教案新人教a版必修2-資料下載頁
2024-12-08 20:21本頁面
【導讀】能運用性質定理解決一些簡單問題；了解平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互關系.讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直.黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？①如圖3,若α⊥β,α∩β=CD,AB?請同學們討論直線AB與平面β的位置關系.②用三種語言描述平面與平面垂直的性質定理，并給出證明.⑤總結應用面面垂直的性質定理的口訣.如圖5，已知α⊥β,α∩β=a,AB?由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE與CD是β內兩條相交直線,∴AB⊥β.例2如圖10，四棱錐P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，側面PAB是等邊三角形，證明側面PAB⊥側面PBC；求側棱PC與底面ABCD所成的角；解：如圖11,取AB中點E，連接PE、CE,又∵△PAB是等邊三角形,∴PE⊥AB.又∵側面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.
【正文】 連接 QA，則 ∠NQA 即為二面角的平面角 . ∵AB 1在平面 ABC內的射影為 AB， CA⊥AB ， ∴CA⊥B =BB1=1，得 AB1= 2 . ∵ 直線 B1C與平面 ABC成 30176。 角， ∴∠B 1CB=30176。 ， B1C=2. 在 Rt△B 1AC中，由勾股定理 ,得 AC= 2 .∴AQ=1. 在 Rt△BAC 中， AB=1， AC= 2 ，得 AN= 36 . sin∠AQN=AQAN=36, 即二面角 BB1CA的正弦值為 36 . 變式訓練 如圖 16，邊長為 2的等邊 △PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面， BC=2 2 ， M為 BC的中點 . (1)證明： AM⊥PM ； (2)求二面角 PAMD的大小 . 圖 16 圖 17 (1)證明： 如圖 17,取 CD的中點 E，連接 PE、 EM、 EA, ∵△PCD 為正三角形 , ∴PE⊥CD ， PE=PDsin∠PDE=2sin60176。= 3 . ∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD,∴PE⊥ 平面 ABCD. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴△ADE 、 △ECM 、 △ABM 均為直角三角形 . 由勾股定理可求得 EM= 3 ， AM= 6 ， AE=3, ∴EM 2+AM2=AE2.∴AM⊥EM. 又 EM是 PM在平面 ABCD上的射影 ,∴∠AME=90176。.∴AM⊥ PM. (2)解 :由 (1)可知 EM⊥AM ， PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 PAMD的平面角 . ∴ tan∠PME=33?EMPE=1.∴∠PME=45176。. ∴ 二面角 PAMD為 45176。. （五） 知能訓練 課本本節(jié)練習 . （六） 拓展提升 (2021 全國高考 ,理 18)如圖 18,在三棱錐 S— ABC 中 ,側面 SAB 與側面 SAC 均為等邊三角形 ,∠BAC=90176。,O 為 BC中點 . (1)證明 SO⊥ 平面 ABC。 (2)求二面角 ASCB的余弦值 . 圖 18 圖 19 (1)證明： 如圖 19,由題設 ,知 AB=AC=SB=SC= OA,△ABC 為等腰直角三角形 ,所以OA=OB=OC= 22 SA,且 AO⊥BC. 又 △SBC 為等腰三角形 ,故 SO⊥BC, 且 SO= 22 SA. 從而 OA2+SO2= △SOA 為直角三角形 ,SO⊥AO. 又 AO∩BC=O, 所以 SO⊥ 平面 ABC. (2)解 :如圖 19,取 SC中點 M,連接 AM、 OM, 由 (1),知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥SC,AM⊥SC. 所以 ∠OMA 為二面角 ASCB的平面角 . 由 AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O, 得 AO⊥ 平面 SBC. 所以 AO⊥OM. 又 AM= 23 SA,故 sin∠AMO =3632 ??AMAO. 所以二面角 ASCB的余弦值為 33 . （七） 課堂小結 知識總結： 利用面面垂直的性質定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等 . 思想方法總結： 轉化思想，即把面面關系轉化為線面關系，把空間問題轉化為平面問題 . （八） 作業(yè) 課本習題 B組 4.
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