高中數(shù)學23垂直的判定與性質(zhì)素材新人教a版必修2(編輯修改稿)
2025-01-13 20:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C PB AC??， ， ∴ B C P A O A C P B O??平 面 ， 平 面，得 AO BC BO AC??， , ∴ O為底面△ ABC的垂心 . 【例 4】已知 Rt ABC? ，斜邊 BC//平面 ? ， ,A?? AB， AC分別與平面 ? 成 30176。和 45176。的角，已知 BC=6，求 BC到平面 ? 的距離 . 解：作 1BB ?? 于 1B ， 1CC ?? 于 1C ，則由 //BC? ，得 11BB CC? ，且 1CC 就是 BC到平面 ? 的距離， C 1B 1CBA? BDCAEFG設 1CC x? ，連結(jié) 11,AB AC ，則 1130 , 45B A B CA C? ? ? ?， ∴ 2 , 2AC x AB x??， 在 Rt ABC? 中， 6, 90BC BA C? ? ?，∴ 2236 2 4xx??，∴ 6x? ，即 BC 到平面 ? 的距離為 6 ． 【例 5】如圖，已知平行六面體 ABCD— A1B1C1D1的底面是菱形且∠ C1CB=∠ C1CD=∠ BCD=60176。 , （ 1）證明： C1C⊥ BD； （ 2）當 1CDCC 的值為多少時，可使 A1C⊥面 C1BD？ 解：（ 1）證明：連結(jié) A1C AC， AC和 BD交于點 O，連結(jié) C1O， ∵四邊 形 ABCD是菱形，∴ AC⊥ BD， BC=CD 又∵∠ BCC1=∠ DCC1， C1C是公共邊，∴△ C1BC≌△ C1DC，∴ C1B=C1D ∵ DO=OB，∴ C1O⊥ BD， 但 AC⊥ BD， AC∩ C1O=O ∴ BD⊥ 平面 AC1， 又 C1C? 平面 AC1，∴ C1C⊥ BD. （ 2） 由 (1)知 BD⊥ 平面 AC1，∵ A1O? 平面 AC1，∴ BD⊥ A1C， 當 1CDCC =1 時 ， 平行六面體的六個面是全等的菱形 ， 同理可證 BC1⊥ A1C， 又 ∵ BD∩ BC1=B，∴ A1C⊥ 平面 C1BD. 【例 1】已知正方形 ABCD的邊長為 1，分別取邊 BC、 CD的中點 E、F，連結(jié) AE、 EF、 AF，以 AE、 EF、 FA 為折痕，折疊使點 B、 C、 D重合于一點 P. （ 1）求證： AP⊥ EF；（ 2）求證：平面 APE⊥平面 APF. 證明：（ 1）如右圖，∵∠ APE=∠ APF=90176。， PE∩ PF=P， ∴ PA⊥平面 PEF. ∵ EF? 平面 PEF，∴ PA⊥ EF. （ 2）∵∠ APE=∠ EPF=90176。， AP∩ PF=P，∴ PE⊥平面 APF. 又 PE? 平面 PAE，∴平面 APE⊥平面 APF. 【例 2】如圖 , 在空間四邊形 ABCD 中， ,AB BC CD DA?? ,EFG 分別是,CDDAAC 的中點，求證：平面 BEF? 平面 BGD . 證明： ,AB BCG? 為 AC中點，所以 AC BG? . 同理可證 ,AC DG? ∴ AC? 面 BGD. 又易知 EF//AC，則 EF? 面 BGD. 又因為 EF? 面 BEF，所以平面 BEF? 平面 BGD . 【例 3】如圖，在正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E是 1CC 的中點，求證： 1A BD BE D?平 面 平 面 ． 證明：連接 AC，交 BD 于 F，連接 1AF ， EF， 1AE ， 11AC . 由正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? ，易得 11AD AB? ， ED EB? ， F 是 BD 的中點， 所以1 ,A F BD EF BD??，得到 1AFE? 是二面角 1A BD E??的平面角 . 設正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱長為 2，則 2 2 2 2 211 2 ( 2 ) 6A F A A A F? ? ? ? ?， 2 2 2 2 21 ( 2 ) 3E F CE CF? ? ? ? ?， 2 2 2 2 21 1 1 ( 2 2 ) 1 9A E A C CE? ? ? ? ?. ∴ 2 2 211A F EF A E??，即 1AF EF? ，所以 1A BD BE D?平 面 平 面 . 【例 4】正三棱柱 ABC— A1B1C1中， AA1=2AB， D、 E分別是側(cè)棱 BB CC1上的點，且 EC=BC=2BD，過 A、 D、 E作一截面，求：（ 1）截面與底面所成的角；（ 2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比 . 解：（ 1）延長 ED交 CB延長線于 F， 1// , , . 1 2 02D B E C B D E C F B B C A B A B F? ? ? ? ? ? ?又， ∴ 30BA F BF A? ? ? ? ?， 90FAC? ? ? . ∵ ,AA AF AC AF???， ∴
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