高中數(shù)學(xué)2-1第2課時(shí)余弦定理同步導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5(編輯修改稿)
2024-12-25 19:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ［答案］ C ［解析］ 利用余弦定理判斷最大角的余弦值是大于 0、等于 0 還是小于 0，即可對(duì)其形狀作出判斷 . cosB= 652 865 222 ?? ?? =2010,所以 B為鈍角，即△ ABC是鈍角三角形 . 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 利用余弦定理確定范圍問(wèn)題 ［例 4］ 設(shè) 2a+1,a,2a1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . ［分析］ 一邊大于兩邊差而 小于兩邊和是任一個(gè)三角形三邊都成立的條件 .若是在銳角或鈍角三角形中，三邊的制約條件還要更強(qiáng) .若△ ABC為銳角三角形，則有 a2＜ b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜ a2+b2。若△ ABC 為鈍角三角形，最大邊為 a,則一定有 a2＞ b2+c2,這些都是可以從余弦定理中直接推導(dǎo)的 . ［解析］ 2a+1,a,2a1是三角形的三邊 , 2a+1＞ 0 ∴ a＞ 0 2a1＞ 0， 解得 a＞ 21 ,此時(shí) 2a+1最大 . ∴要使 2a+1,a,2a1表示三角形 的三邊，還需 a+(2a1)＞ 2a+1,解得 a＞ 2. 設(shè)最長(zhǎng)邊 2a+1所對(duì)的角為θ ,則 cosθ = ? ? ? ?? ?122 1212222? ???? aa aaa= ? ?? ?122 8??aaaa＜ 0, 解得 21 ＜ a＜ 8,∴ a的取值范圍是 2＜ a＜ 8. ［說(shuō)明］ 本題易忽視構(gòu)成三角形的條件 a＞ 2,而直接應(yīng)用余弦定理求解，從而使 a的范圍擴(kuò)大 . 變式應(yīng)用 4. 已知銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為 2， 3， x，求 x的取值范圍 . ［解析］ 由三角形三邊的關(guān)系有 32＜ x＜ 3+2，即 1＜ x＜ 5. 又∵三角形為銳角三角形，由余弦定理可知任一邊的平方小于另兩邊平方和 . x2＜ 22+32 即 32＜ x2+22 x2＜ 13 x2＞ 5 5＜ x2＜ 13 即 x＞ 0 解得 5 ＜ x＜ 13 ， ∴ x的取值范圍為（ 5 ， 13 ） . 名師辨誤做答 ［例 5］ 在△ ABC中 ，∠ C=2∠ A,a+c=10,cosA=43 ,求 b. ［誤解］ 由正弦定理，得 ac = ACsinsin 又∵∠ C=2∠ A, ∴ ac = AAsin2sin =2cosA=2 43 ＝ 23 ， 又 a+c=10, ∴ a=4,c=6. 由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA, ∴ b29b+20=0, ∴ b=4或 b=5. 運(yùn)用余弦定理求邊長(zhǎng)時(shí)，易產(chǎn)生增解，因此要結(jié)合題目中隱含條件進(jìn)行判斷 . 由正弦定理，得 ac = ACsinsin , 又∵∠ C=2∠ A, ∴ ac = AAsin2sin =2cosA=2 43 ＝ 23 ， 又 a+c=10,∴ a=4,c=6. 由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA, ∴ b29b+20=0, ∴ b=4或 b=5. 當(dāng) b=4時(shí)，∵ a=4,∴∠ A=∠ B, 又∠ C=2∠ A,且∠ A+∠ B+∠ C=π , ∴∠ A=4? ,這與已知 cosA=43 矛盾，不合題意，舍去 . 當(dāng) b=5時(shí)，滿足題意，∴ b=5. 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 △ ABC中，若 abc,且 c2a2+b2,則△ ABC為（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ abc,且 c2a2+b2,∴∠ C為銳角 .又 ∵∠ C為最大角 .故選 B. 2.△ ABC的內(nèi)角 A、 B、 C的對(duì)邊分別為 a， b， c，若 a， b， c滿足 b2=ac，且 c=2a,則 cosB=（ ） A. 41 B. 43 C. 42 D. 32 ［答案］ B ［解析］ 由 b2=ac，又 c=2a，由余弦定理，得 cosB= ac bca 2 222 ?? = aa aaaa 22 24 22 ??? =43 . 3.（ 2020四川理， 6）在△ ABC中， sin2A≤ sin2B+sin2CsinBsinC,則 A的取值范圍是 ( ) A.(0, 6? ］ B.［ 6? ,π ) C.(0, 3? ］ D.［ 3? ,π ) ［答案］ C ［解析］ 本題主要考查正余弦定理，∵ sin2A≤ sin2B+sin2CsinBsinC, ∴由正弦定理得： a2≤ b2+c2bc，即 b2+c2a2≥ bc，由余弦定理得： cosA= bc acb 2 222 ?? ≥bcbc2 =21 ，∴ 0A≤ 3? ，故選 C. 二、填空題 4和 5，它們的夾角的余弦值是方程 2x2+3x2=0的根，則第三邊的長(zhǎng)是 . ［答案］ 21 ［解析］ 解 2x2+3x2=0，得 x1=21 或 x2=2（舍去） . ∴夾角的余弦值為 21 ，根據(jù)余弦定理得第三邊長(zhǎng)為2154254 22 ??= 21 . △ ABC中， a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于 23 ，則三邊長(zhǎng)為 .
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