高中數(shù)學2-1第2課時余弦定理同步導學案北師大版必修5-資料下載頁
2024-11-19 19:36本頁面
【導讀】理的過程，并體會向量在解決三角形的度量問題時的作用.求三角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等問題.在余弦定理的每一個等式中含有四個量，利用方程的思想，可以知三求一.推論.掌握這些表達形式，可以幫助我們深入理解和靈活應用余弦定理.的平方，那么第三邊所對的角是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為鈍角，定理的推廣，而勾股定理則是余弦定理的特例.用.另外，對余弦定理的證明，還可以應用解析法、幾何法等方法證明.由兩點間的距離公式得BC2=2+2,在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+2.如圖，當△ABC為鈍角三角形時，過C作CD垂直于AB的延長線，垂足為D，平方，求得結果常有兩解，因此，解題時需要特別注意三角形三邊長度應滿足的基本條件.由正弦定理Aasin＝Ccsin得，∴最大角A為120°，sinC=1435.當a=3時，∠A=30°,∠C=120°.解法二：由b<c,∠B=30°,b>csin30°=33×21=233知本題有兩解.
【正文】 3 ,AC=4,則邊 AC 上的高為 . ［答案］ 23 3 ［解析］ 如圖， cosA=? ?432 1343 222 ?? ?? ＝ 21 ， ∴ sinA= 23 . ∴ .BD=AB sinA=23 3. △ ABC中，已知 BC=8,AC=5,三角形面積為 12，則 cos2C= . ［答案］ 257 ［解析］ 由題意得 S△ ABC=21AC BCsinC=12, 即 21 5 8 sinC=12,則 sinC=53 . ∴ cos2C=12sin2C=12（ 53 ） 2=257 . △ ABC中， B=60176。 ,b2=ac,則三角形的形狀為 . ［答案］ 等邊三角形 ［解析］ 由余弦定理得 b2=a2+c2ac, ∵ b2=ac, ∴ a2+c22ac=0,∴ (ac) 2=0, ∴ a=c. 又∵ B=60176。 ,∴ A=C=60176。 . 故△ ABC為等邊三角形 . 三、解答題 △ ABC中， A+C=2B,a+c=8,ac=15,求 b. ［解析］ 解法一：在△ ABC中，由 A+C=2B， A+B+C=180176。，知 B=60176。 . 由 a+c=8,ac=15,則 a、 c是方程 x28x+15=0的兩根 . 解得 a=5,c=3或 a=3,c=5. 由余弦定理，得 b2=a2+c22accosB=9+252 3 5 21 ＝ 19. ∴ b= 19 . 解法二：在△ ABC中，∵ A+C=2B,A+B+C=180176。， ∴ B=60176。 . 由余弦定理，得 b2=a2+c22accosB=(a+c) 22ac2accosB=822 152 15 21 ＝ 19. ∴ b＝ 19 . 14.(2020大綱 文， 18)△ ABC 的內(nèi) 角 A 、 B、 C 的對邊分 別 為 a、 b、 c ，asinA+csinC 2 asinC=bsinB. (1)求 B； （ 2）若 A=75176。 ,b=2,求 a,c. ［分析］ 利用三角形正弦定理，將已知條件 asinA+csinC 2 asinC=bsinB 中的角轉化為邊，再利用余弦定理即可 求得 B角，然后再利用正弦定理求得 a， c的值 . ［解析］ （ 1）∵ asinA+csinC 2 asinC=bsinB ∴ a2+c2 2 ac=b2 ∴ a2+c2b2= 2 ac ∴ cosB= ac bca 2 222 ?? = acac22 = 22 ∴ B=45176。 (2)由 (1)得 B=45176。 ∴ C=180176。 AB=180176。 75176。 45176。 =60176。 由正弦定理 Aasin = Bbsin = Ccsin ∴ a= BAbsinsin = ??? 45sinsin752 =224262 ??= 13? c= 62223245s i n60s i n2s i ns i n ???????BCb . ［點評］ 本題主要考查正、余弦定理的綜合應用， 考查考生利用所學知識解決問題的能力 .解三角形的實質(zhì)是將幾何問題轉化為代數(shù)問題即方程問題，具體操作過程的關鍵是正確分析邊角的關系，能依據(jù)題設條件合理的設計解題程序，進行三角形中邊角關系的互化，要抓住兩個定理應用的信息；當遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和邊的一次式，則大多用正弦定理，若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用 . △ ABC中， A=120176。 ,b=3,c=5. (1)求 sinBsinC。 (2)求 sinB+sinC. ［分析］ 已知兩邊及 其夾角，由余弦定理可求出第三邊 a,再由正弦定理求出 sinB,sinC. ［解析］ （ 1）∵ b=3,c=5,A=120176。 , ∴由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA =9+25235 （ 21 ） =49. ∴取正值 a=7. 由正弦定理，得 sinB=aAbsin= 14337 233?? , sinC= .435sin ?a Ac ∴ sinB sinC=19645. (2)由（ 1）可得 sinB+sinC= 734 . 60176。 ,面積為 10 3 cm2，周長為 20 cm，求此三角形各邊長 . ［解析］ 設三角形的三條邊長分別為 a,b,c,B=60176。 ,則依題意，得 a+b+c=20 cos60176。 = ac bca 2 222 ?? 21 acsin60176。 =10 3 , a+b+c=20,① ∴ b2=a2+c2ac，② ac=40.③ 由①式，得 b2=［ 20(a+c)］ 2=400+a2+c2+2ac40(a+c).④ 將②代入④，得 400+3ac40(a+c)=0, 再將③代入④，得 a+c=13. a+c=13 a=5 a=8 ,得 ,或 ac=40 c=8 c=5. ∴ b=7. ∴該三角形的三邊長為 5 cm,7 cm,8 cm.
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