高中數(shù)學(xué)1671正弦定理與余弦定理(12)教案北師大版必修5-資料下載頁
2024-11-06 22:00本頁面
【正文】 函數(shù)中正弦函數(shù)abc=sinA，=sinB，又sinC=1=,A cabc則===csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ==sinAsinBsinC的定義，有(圖1．12)思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：3如圖1．13，當(dāng)DABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsinA,則同理可得從而asin=bsin，csinC==bsinB=，asinAbsinBcsinCAcB(圖1．13)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。（證法二）：過點(diǎn)A作j^AC，C 由向量的加法可得AB=AC+CBuruuuruuruuuruururuururuuuruur則jAB=j(AC+CB)uruururuuururuur∴jAB=jAC+jCBjruuurruuur0jABcos(90A)=0+jCBcos(900C)∴csinA=asinC，即ac=ruuurbc同理，過點(diǎn)C作j^BC，可得=從而asinA=bsinB=csin類似可推出，當(dāng)DABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csin[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC；（2）asinA=bsinB=csin等價(jià)于asinA=bsinB，csinC=bsinB，asinA=csinC從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a=bsinA； sinB②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA=sinB。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。ab[例題分析]例1．在DABC中，已知A=，B=，a=，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C=1800(A+B)=1800(+)=；根據(jù)正弦定理，==187。(cm)；根據(jù)正弦定理，==187。(cm).評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2．在DABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=400，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400sinB==187。＜B＜1800，所以B187。640，或B187。1160.⑴ 當(dāng)B187。640時(shí)，C=1800(A+B)187。1800(400+640)=760，asinC20sin760c==187。30(cm).sin400⑵ 當(dāng)B187。1160時(shí)，C=1800(A+B)187。1800(400+1160)=240，asinC20sin240c==187。13(cm).sin400評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。a+b+csinA+sinB+sinCabc分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k0)使===k,sinAsinBsinCabca+b+c證明出 ===sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCabc解：設(shè)===k(ko)sinAsinBsinC則有a=ksinA，b=ksinB，c=ksinCa+b+cksinA+ksinB+ksinC從而==ksinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC例3．已知DABC中，208。A=600，a=求又asinA=a+b+c=2=k，所以=2 sinA+sinB+sinC評(píng)述：在DABC中，等式asinA=bsinB=csinC=a+b+c=k(k0)sinA+sinB+sinC恒成立。[補(bǔ)充練習(xí)]已知DABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：asinAsinBsinC或a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC(k0)（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)①課后思考題：（見例3）在DABC中，=b=c=a+b+c=k(k0)；sinA+sinB+sinCasinA=bsinB=csinC=k(ko)，這個(gè)k與DABC有什么關(guān)系？②課時(shí)作業(yè)：第10頁[]A組第1（1）、2（1）題。
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