【導(dǎo)讀】，理解等差數(shù)列的概念，并會用等差數(shù)列的概念判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.，能用函數(shù)的觀點解決等差數(shù)列問題.列，因為這些常數(shù)不一定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時，此數(shù)列不是等差數(shù)列.一個常數(shù).這里所說的常數(shù)是指一個與n無關(guān)的常數(shù).列，可舉一個特例進(jìn)行否定，也可以證明an+1-an或an-an-1(n>1)不是常數(shù)，而是一個與n有。方法一（疊加法）：∵{an}是等差數(shù)列，將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,注意：將等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數(shù)角度來看，間距相等的點，其中公差d是該射線所在直線的斜率，從上面的變形公式可以知道，②可以由首項與公差求出等差數(shù)列中的任意一項;當(dāng)d<0時，{an}為遞減數(shù)列，如圖(乙)所示.如果在數(shù)a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做數(shù)a與b的等差中項.用遞推關(guān)系an+1=21給出的數(shù)列是等差數(shù)列，an+1是它的前一項an與后一項an+2. ［例2］已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a5=11,a8=5,求a11.，應(yīng)注意掌握對它的靈活應(yīng)用.

　　

【正文】 2179? =13,所以當(dāng) n=13 時，Sn取得最大值 169. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等差數(shù)列前 n項和在實際問題中的應(yīng)用 ［例 4］ 有 30 根水泥電線桿，要運往 1000 m遠(yuǎn)的地方開始安裝，在 1000 m 處放一根，以后每隔 50 m放一根，一輛汽車每次只能運三根，如果用一輛汽車完成這項任務(wù)，這輛汽車的行程共多少？ ［分析］ 這是一道等差數(shù)列求和的應(yīng)用題 .對 于應(yīng)用題首先是根據(jù)問題給出的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，然后解此數(shù)學(xué)問題，最后再回到應(yīng)用問題作出結(jié)論 . ［解析］ 解法 1：如圖所示示意圖，假定 30根水泥電線桿存放 M處 . a1=|MA|=1000(m),a2=|MB|=1050(m), a3=|MC|=1100(m),a6=a3+50 3＝ 1250(m), ? a30=a3+150 9（ m） . 由于一輛汽車每次只能裝 3根，故每運一次只能到 a3,a6,a9,? ,a30這些地方，這樣組成公差為 150 m，首項為 1100的等差數(shù)列，令汽車行程為 S，則有 S＝ 2(a3+a6+? +a30) =2(a3+a3+150 1＋?＋ a3+150 9) ＝ 2（ 10a3+150 291? 9）＝ 2（ 11000＋ 6750） ＝ （ km） . 答：這輛汽車行程共有 km. 解法 2（略解）：根據(jù)題設(shè)和汽車需運送十次，可得一等差數(shù)列｛ an｝ ,其 a1=100,d=150,n=10,則 S10=10a1+ 2 )110(10 ? d=7750(m). 所以總共行程為 7750 2＋ 1000 20＝ （ km） . 解法 3（略解） ：根據(jù)題意和汽車每次走的路程可構(gòu)成一個等差數(shù)列，其中 a1=(1000+50 2) 2＝ 2200， a2=(1000+50 5) 2＝ 2500， ? d=150 2＝ 300，項數(shù)共有 10 項， ∴ Sn=10a1+2 )110(10 ?d =10 2200＋ 5 9 300＝ （ km） . ［說明］ 有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，應(yīng)首先通過對實際問題的研究，建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實際的答案，一般求解步驟如下： (1)問題中所涉及的數(shù)列 {an}有何特征； (2)是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前 n項和 。 (3)列出等式（或方程）求解 。 (4)得到問題的答案 . 變式應(yīng)用 4 為了參加 5000 m長跑比賽 ,李強給自 己制定了 10天的訓(xùn)練計劃：第 1天跑 5000 m，以后每天比前一天多跑 400 m，李強 10天一共要跑多少路程？ ［解析］ 將李強每一天跑的路程記為數(shù)列｛ an｝ , 則 a1=5000m,公差 d=400m. ∴ S10＝ 10a1+ 2 )110(10 ?? d =10 5000＋ 45 400＝ 68000（ m） 故李強 10天一共要跑的路程為 68000m. 名師辨誤做答 ［例 5］ 已知兩 個等差數(shù)列｛ an｝、｛ bn｝的前 n 項和分別為 Sn、 Tn，且nnTS ＝ 274 17??nn (n∈ N+),求1111ba . ［誤解］ 由nnTS = 274 17??nn , 設(shè) Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠ 0. 則 a11=S11S10=(7 11+1)k(7 10+1)k=7k, b11=T11T10=(4 11+27)k(4 10+27)k=4k. ∴1111ba = kk47 =47 . ［辨析］ 錯誤的原因是“設(shè) Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠ 0” .這種設(shè)法雖然可以使nnTS = 274 17??nn 成立，但是相對于變量 n來說， k是常數(shù)，故 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k是 n的一次函數(shù)，與公差不為零的等差數(shù)列的前 n項和為 n的二次函 數(shù)不符合 . ［正解］ 由于等差數(shù)列｛ an｝的前 n項和 Sn＝ an2+bn=a n(n+ab ), 設(shè) Sn=(7n+1) kn,Tn=(4n+27) kn, ∴ a11=S11S10=(7 11+1) 11k(7 10+1) 10k＝ 148k， b11=T11T10=(4 11+27) 11k(4 10+27) 10k=111k. ∴1111ba = kk111148 =34 . 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 ｛ an｝中，已知 a2=2,a8=10,則前 9項和 S9＝（ ） ［答案］ D ［解析］ ∵ {an}是等差數(shù)列， ∴ a2+a8=a1+a9=2+10=12, ∴ S9= 2 )(9 91 aa ?? = 2129? ＝ 54. ｛ an｝是等差數(shù)列， a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前 20 項和等于（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ {an}是等差數(shù)列， ∴ a1+a20=a2+a19=a3+a18, 又 a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78, ∴ a1+a20+a2+a19+a3+a18=54. ∴ 3(a1+a20)=54, ∴ a1+a20=18. ∴ S20= 2 )(20 201 aa ? =180. {an}的前 n項和為 a1=21 ， S4=20，則 S6=（ ） ［答案］ D ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, ∵ a1=21 ,S4=4 21 + 234? d=2+6d=20, ∴ d=3,故 S6=6 21 + 256? 3=48,故 選 D. 二、填空題 {an}中， a1=1,a3+a5=14,其前 n項和 Sn=100,則 n= . ［答案］ 10 ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, a1+2d+a1+4d=14 由題意，得 ，解得 d=2. a1=1 又 Sn=na1+ 2 )1( ?nn d, ∴ 100=n+ 2 )1( ?nn 2 解得 n=10. ｛ an｝中， S11=2020，則 a6= . ［答案］ 183 ［解析］ ∴ S11=2 )(11 111 aa ?=2211 6a?=11a6=2020, ∴ a6=183. 三、解答題 ｛ an｝中：已知 S7=42,Sn=510， an3=45,求 n. ［解析］ S7= 2 )(7 71 aa ? =7a4=42,∴ a4=6. ∴ Sn= 2 )( 1 naan ? = 2 )( 34 ?? naan = 2 )456( ?n =510. ∴ n=20. 課后強化作業(yè) 一、選擇題 {an}滿足 a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前 10項和 S10=（ ） ［答案］ C ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項為 a1,公差為 d. a2+a4=4 ① 則 a3+a5=10 ② ② ①得 2d=6,∴ d=3. a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4 3=4, ∴ a1=4, S10=10 (4)+ 2910? 3=40+135=95. 故選 C. {an}中， a2+4a7+a12=100,則 2a3+a15等于 （ ） ［答案］ D ［解析］ ∵ a2+a12=2a7, ∴ 6a7=100,∴ 3a7=50. 又 2a3+a15=2(a74d)+a7+8d =3a7=50,故選 D. 21，末四項之和為 67，前 n項和為 286，則項數(shù) n為 （ ） ［答案］ B ［解析］ 設(shè)該等差數(shù)列為｛ an｝ , 由題意，得 a1+a2+a3+a4=21, an+an1+an2+an3=67, 又∵ a1+an=a2+an1=a3+an2=a4+an3, ∴ 4(a1+an)=21+67=88, ∴ a1+an=22. ∴ Sn=2 )( 1 naan ?=11n=286, ∴ n=26. 4.(2020江西文， 5)設(shè) {an}為等差數(shù)列，公差 d=2,Sn為其前 n項和，若 S10=S11，則 a1=（ ） A． 18 B． 20 C． 22 D． 24 ［答案］ B ［解析］ 本題主要考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列通項公式 . S11S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10（ 2） =0，所以 a1=20. {an}中， a4=9,a7=3,則數(shù)列 {an}前 n項和的最大值為（ ） ［ 答案］ D ［解析］ 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d, 則 a7a4=3d, ∴ 3d=6,d=2. ∴ a1=a43d=9+6=15, ∴ Sn=15n+ 2 )1( ?nn (2) =n2+16n =(n8) 2+64, ∴當(dāng) n=8時， Sn取最大值 64. 10項，其奇數(shù)項之和為 15，偶數(shù)項之和為 30，則其公差為（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ S 奇 =a1+a3+a5+a7+a9=15， S 偶 =a2+a4+a6+a8+a10=30， ∴ S 偶 S 奇 =5d=15,∴ d=3. {an}的公差為 d，前 n 項和為 Sn，當(dāng)首項 a1和 d 變化時， a2+a8+a11是一個定值，則下列各數(shù)中也為定值的是 （ ） ［答案］ C ［解析］ 由已知 a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7為定值，則 S13= 2 )(13 131 aa ? =13a7也為定值，故選 C. ｛ an｝的前 n項和為 Sn，已知 am1+am+1am2=0,S2m1=38,則 m=（ ） ［答案］ C ［解析］ 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得 am1+am+1＝ 2am， ∴ 2am=am2,由題意，得 am≠ 0,∴ am=2. 又 S2m1= 2 ))(12( 121 ??? maam = 2 )12(2 ?mam =2(2m1)=38, ∴ m=10. 二、填空題 {an}中， a1＞ 0,d=21,an=3,Sn=512,則 a1= ,n= . ［答案］ 2 3 3＝ a1+(n1)21 ［解析］ 由題意，得 512＝ na1+21n（ n1）21 a1=2 解 得 . n=3 10.(2020廣東理， 11)等差數(shù)列｛ an｝前 9 項的和等于前 4 項的和 .若 a1=1,ak+a4=0,則k= . ［答案］ 10 ［解析］ 本題考查等差數(shù)列通項公式、前 n項和公式以及基本運算能力 . 設(shè)等差數(shù)列公差為 d，則 an=1+(n1)d, ∵ S4=S9,∴ a5+a6+a7+a8+a9=0， ∴ a7=0,∴ 1+6d=0,d=61 . 又 a4=1+3 (61 )=21 ,ak=1+(k1)d, ∴ 21 +1+(k1)d=0， d=61 代入，得 k=10. {an}的前 n項和 Sn=3n2n2（ n∈ N+），則 an= ,此時 Sn 與 nan 的大小關(guān)系是 . ［答案］ 4n+5 Sn≥ nan ［解析］ n=1時， S1=a1=1。 n≥ 2時， an=SnSn1=4n+5 n=1時，也適合上式，故 an=4n+5. Snnan=3n2n2n(4n+5) =2n22n=2n(n1)≥ 0, 故 Sn≥ nan. Sn為等差數(shù)列 {an}的前 n 項和，若 a4=1,S5=10,當(dāng) Sn取最大值時， n 的值為 . ［答案］ 4或 5 ［解析］ 由 a4=a1+3d=1,S5=5a1+10d=10,得 a1=4,d=1, Sn=4n 2 )1( ?nn = 2 92 nn ?? =21 . （ n29 ） 2+881 , 又∵ n∈ N+,∴當(dāng) n=4或 n=5時， Sn最大 . 三、解答題 {an}是等差數(shù)列，前 n項和記為 Sn，已知 a10=30， a20=50. （ 1）求通項 an。 （ 2)若 Sn