【正文】 （ 2)若 Sn=242。廣東理， 11)等差數(shù)列｛ an｝前 9 項的和等于前 4 項的和 .若 a1=1,ak+a4=0,則k= . ［答案］ 10 ［解析］ 本題考查等差數(shù)列通項公式、前 n項和公式以及基本運算能力 . 設等差數(shù)列公差為 d，則 an=1+(n1)d, ∵ S4=S9,∴ a5+a6+a7+a8+a9=0， ∴ a7=0,∴ 1+6d=0,d=61 . 又 a4=1+3 (61 )=21 ,ak=1+(k1)d, ∴ 21 +1+(k1)d=0， d=61 代入，得 k=10. {an}的前 n項和 Sn=3n2n2（ n∈ N+），則 an= ,此時 Sn 與 nan 的大小關系是 . ［答案］ 4n+5 Sn≥ nan ［解析］ n=1時， S1=a1=1。 10k=111k. ∴1111ba = kk111148 =34 . 課堂鞏固訓練 一、選擇題 ｛ an｝中，已知 a2=2,a8=10,則前 9項和 S9＝（ ） ［答案］ D ［解析］ ∵ {an}是等差數(shù)列， ∴ a2+a8=a1+a9=2+10=12, ∴ S9= 2 )(9 91 aa ?? = 2129? ＝ 54. ｛ an｝是等差數(shù)列， a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前 20 項和等于（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ {an}是等差數(shù)列， ∴ a1+a20=a2+a19=a3+a18, 又 a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78, ∴ a1+a20+a2+a19+a3+a18=54. ∴ 3(a1+a20)=54, ∴ a1+a20=18. ∴ S20= 2 )(20 201 aa ? =180. {an}的前 n項和為 a1=21 ， S4=20，則 S6=（ ） ［答案］ D ［解析］ 設等差數(shù)列 {an}的公差為 d, ∵ a1=21 ,S4=4 21 + 234? d=2+6d=20, ∴ d=3,故 S6=6 21 + 256? 3=48,故 選 D. 二、填空題 {an}中， a1=1,a3+a5=14,其前 n項和 Sn=100,則 n= . ［答案］ 10 ［解析］ 設等差數(shù)列 {an}的公差為 d, a1+2d+a1+4d=14 由題意，得 ，解得 d=2. a1=1 又 Sn=na1+ 2 )1( ?nn d, ∴ 100=n+ 2 )1( ?nn 2 解得 n=10. ｛ an｝中， S11=2020，則 a6= . ［答案］ 183 ［解析］ ∴ S11=2 )(11 111 aa ?=2211 6a?=11a6=2020, ∴ a6=183. 三、解答題 ｛ an｝中：已知 S7=42,Sn=510， an3=45,求 n. ［解析］ S7= 2 )(7 71 aa ? =7a4=42,∴ a4=6. ∴ Sn= 2 )( 1 naan ? = 2 )( 34 ?? naan = 2 )456( ?n =510. ∴ n=20. 課后強化作業(yè) 一、選擇題 {an}滿足 a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前 10項和 S10=（ ） ［答案］ C ［解析］ 設等差數(shù)列 {an}的首項為 a1,公差為 d. a2+a4=4 ① 則 a3+a5=10 ② ② ①得 2d=6,∴ d=3. a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4 3=4, ∴ a1=4, S10=10 (4)+ 2910? 3=40+135=95. 故選 C. {an}中， a2+4a7+a12=100,則 2a3+a15等于 （ ） ［答案］ D ［解析］ ∵ a2+a12=2a7, ∴ 6a7=100,∴ 3a7=50. 又 2a3+a15=2(a74d)+a7+8d =3a7=50,故選 D. 21，末四項之和為 67，前 n項和為 286，則項數(shù) n為 （ ） ［答案］ B ［解析］ 設該等差數(shù)列為｛ an｝ , 由題意，得 a1+a2+a3+a4=21, an+an1+an2+an3=67, 又∵ a1+an=a2+an1=a3+an2=a4+an3, ∴ 4(a1+an)=21+67=88, ∴ a1+an=22. ∴ Sn=2 )( 1 naan ?=11n=286, ∴ n=26. 4.(2020 10k＝ 148k， b11=T11T10=(4 11+27) kn, ∴ a11=S11S10=(7 11+1) n(n+ab ), 設 Sn=(7n+1) (3)列出等式（或方程）求解 。 （ 2）已知 a3+a15=40,求 S17. ［解析］ （ 1）∵ a6=10,S5=5, a1+5d=10 a1=5 ∴ ，解得 . 5a1+10d=5 d=3 ∴ a8=a6+2d=16,S8= 2 )(8 81 aa? =44. (2)∵ a1+a17=a3+a15, ∴ S17= 2 )(17 171 aa ? = 2 )(17 153 aa ? = 24017? ＝ 340. 命題方向 等差數(shù)列前 n項和的性質 ［例 2］ 一個等差數(shù)列的前 10項之和為 100，前 100項之和為 10，求前 110項之和 . ［分析］ 解答本題可利用前 n項和公式求出 a1和 d,即可求出 S110,或利用等差數(shù)列前 n項和的性質求解 . ［解析］ 方法一：設等差數(shù)列｛ an｝的公差為 d,前 n項和為 Sn,則 Sn=na1+ 2 )1( ?nn d. 10a1+ 2910? d=100 ① 由已知得 100a1+ 299100? d=10 ② ① 10－②，整理得 d=5011 , 代入①，得 a1= 1001099 . ∴ S110=110a1+ 2109110? d =110 1001099 + 2109110? （ 5011 ） =110（ 100 111091099 ?? ）＝－ 110. 故此數(shù)列的前 110項之和為－ 110． 方法二：數(shù)列 S10,S20S10,S30S20,?， S100S90,S110S100成等差數(shù)列，設其公差為 D，前 10項和10S10+2910? D=S100=10? D=22， ∴ S110S100=S10+（ 111） D=100+10（ 22） =120. ∴ S110=120+S100=110. 方法三：設 Sn=an2+bn. ∵ S10=100,S100=10, 102a+10b=100 a=1011 ∴ ， ? . 1002a+100b=10 b=1011 ∴ Sn=1011 n2+1011 n. ∴ S110=1011 1102+1011 110=110. 方法四：∵ S100S10=a11+a12+? +a100 = 2 )(90 10011 aa ? = 2 )(90 1101 aa ? . 又 S100S10=10100=90, ∴ a1+a110=2. ∴ S110= 2 )(110 1101 aa ? =110. 方法五：在等差數(shù)列中，因為點（ n, nSn ）共線， 所以（ 10， 1010S ） ,（ 100， 1010S ） ,（ 110， 1010S ）三點共線， 故 10100 10100 10100??SS ＝ 10110 10110 10110??SS 即 9010101? ＝ 10010110110?S ∴ 1010S =10+910 (101 10)=1 ∴ S110=110. ［說明］ 比較上述五種解法可以看出，利用等差數(shù)列前 n項和的性質解題，可以大大減少運算量 . 變式應用 2 已知等差數(shù)列｛ an｝的前 n項和為 Sn,且 Sm=70， S2m=110,則 S3m＝ . ［答案］ 120 ［解析］ ∵ {an}為等差數(shù)列， ∴ Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列 , ∴ 2(S2mSm)=Sm+S3mS2m, 即 2（ 11070）＝ 70+S3m110， ∴ S3m=120. 命題方向 等差數(shù)列前 n項和的最值問題 ［例 3］ 已知數(shù)列 {an｝是等差數(shù)列， a1=50,d=. (1)從第幾項開始有 an0。 23 + 2 )1( ?nn 洛陽模擬 )已知｛ an｝為等差數(shù)列， a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,則 a20= . ［答案］ 1 ［解析］ ∵ a1+a3+a5=105,即 3a3=105 ∴ a3=35,同理 a4=33, ∴ d=a4a3=2 ∴ a20=a4+(204)d=1. {an}中，公差為 21 ，且 a1+a3+a5+? +a99=60，則 a2+a4+a6+? +a100= . ［答案］ 85 ［解析］ 由等差數(shù)列的定義知 a2+a4+a6+? +a100 =a1+a3+a5+? +a99+50d =60+25=85. 三、解答題 {an}中， a2+a6+a10=1,求 a3+a9. ［解析］ ∵ a2+a10=2a6, ∴ 3a6=1,a6=31. ∴ a3+a9=2a6=32. ｛ an｝的公差是正數(shù)，且 a3a7=12,a4+a6=4,求｛ an｝的通項公式 . ［解析］ ∵ a3+a7=a4+a6=4,又 a3a7=12 ∴ a a7是方程 x2+4x12=0的兩根 而 d0,∴ a3=6,a7=2. a1+2d=6 ∴ a1+6d=2 故 a1=10,d=2,∴ an=2n12. ｛ an｝ ,an=2n1,bn=a2n1. (1)求｛ bn｝的通項公式； （ 2）數(shù)列｛ bn｝是否為等差數(shù)列？說明理由 . ［解析］ ∵ an=2n1,bn=a2n1, ∴ b1=a1=1,b2=a3=5,b3＝ a5=9， bn=a2n1=2(2n1)1=4n3. (2)由 bn=4n3知 bn1=4(n1)3=4n7. ∵ bnbn1=(4n3)(4n7)=4, ∴ {bn}是首項 b1=1,公差為 4的等差數(shù)列 . 800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售 .甲商場用如下的方法促銷；買一臺單價為 780元，買兩臺單 價都為 760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少 20元，但每臺最低價不能低于 440元；乙商場一律都按原價的 75%銷售 .某單位購買一批此類影碟機，問去哪家商場買花費較少 . ［解析］ 設單位需購買影碟機 n臺，在甲商場購買每臺售價不低于 440元，售價依臺數(shù) n成等差數(shù)列 .設該數(shù)列為 {an}. an=780+(n1)(20)=80020n, 解不等式 an≥ 440即 80020n≥ 440，得 n≥ 18. 當購買臺數(shù)小于 18 臺時，每臺售價為 80020n，在臺數(shù)大于等于 18 臺時，每臺售價為 440元 . 到乙商場購買，每臺售價為 800 75%=600元 . 作差：（ 80020n） n600n=20n（ 10n）， 當 n10時， 600n(80020n)n， 當 n=10時， 600n=(80020n)n， 當 10n≤ 18時（ 80020n） n600n， 當 n18時， 440n660n. 答：當購買少于 10臺時到乙商場花費較少，當購買 10臺時到兩商場購買花費相同，當購買多于 10臺時到甲商場購買花費較少 . 第 3課時 等差數(shù)列的前 n項和 知能目標解讀 n項和公式及其推 導過程，能夠應用等差數(shù)列的前 n項和公式解決有關等差數(shù)列的實際問題 . n項和公式與二次函數(shù)的關系，能用二次函數(shù)的相關知識解決有關的數(shù)列問題 . a1,d,n,an,Sn之間的聯(lián)系，能夠由其中的任意三個求出其余的兩個 . n項和 Sn求通項的方法 . 重點難點點撥 重點：探索等差數(shù)列前 n項和公式的推導方法，掌握前 n項和公式，會用公式解決一