【正文】 些實(shí)際問題 .體會(huì)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系 . 難點(diǎn)：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用公式解題時(shí)公 式的選取 . 學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) n 項(xiàng)和公式中涉及五個(gè)量 a1,d,n,an,Sn,已知其中任意三個(gè)就可以列方程組求另外兩個(gè)（簡稱“知三求二”），它是方程思想在數(shù)列中的體現(xiàn) . ，用的是倒序相加法，要注意體會(huì)這種求和方法的適用對(duì)象和操作程序，并能用來解決與之類似的求和問題 .注意公式 Sn= 2 )( 1 naan ? ,Sn=na1+ 2 )1( ?nn d，Sn=nan 2 )1( ?nn d之間可以相互轉(zhuǎn)化 . n 的二次函數(shù)， {an}不一定是等差數(shù)列 .如果 Sn=an2+bn+c，則在 c=0 時(shí) {an}是等差數(shù)列，在 c≠ 0 時(shí) {an}不是等差數(shù)列；反過來 {an}是等差數(shù)列， Sn的表達(dá)式可以寫成 Sn=an2+bn的形式，但當(dāng) {an}是不為零的常數(shù)列時(shí)， Sn=na1是 n的一次函數(shù) . 知能自主梳理 n項(xiàng)和公式 若數(shù)列｛ an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 a1,公差為 d,則前 n項(xiàng)和 Sn= = . n項(xiàng)和的性質(zhì) （ 1）等差數(shù)列｛ an｝的前 k項(xiàng)和為 Sk,則 Sk,S2kSk,S3kS2k,?成公 差為 的 等差數(shù)列 . （ 2）等差數(shù)列｛ an｝的前 n項(xiàng)和為 Sn,則｛ nSn ｝也是 . ［答案］ 1. 2 )( 1 naan ? na1+ 2 )1( ?nn d 2.(1)k2d (2)等差數(shù)列 思路方法技巧 命題方向 有關(guān)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算 ［例 1］ 已知等差數(shù)列 {an}中， （ 1） a1=23 ,d=21 ,Sn=15,求 n和 an。 a7=7， ② 由①、②解得 a3=1,a7=7,或 a3=7,a7=1, ∴ a3=1， d=2或 a3=7,d=2. 由 an=a3+(n3)d,得 an=2n7或 an=2n+13. ［說明］ 本題利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，可以使計(jì)算過程變簡單，達(dá)到了事半功倍的效果 . 變式應(yīng)用 2 在等差數(shù)列 {an}中，若 a3+a5+a7+a9+a11=100,則 3a9a13的值為（ ） ［答案］ C ［解析］ ∵ a3+a5+a7+a9+a11=100, 又∵ a3+a11=a5+a9=2a7, ∴ 5a7=100,∴ a7=20, ∴ 3a9a13=3(a7+2d)(a7+6d) =3a7+6da76d =2a7=40. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ［例 3］ 已知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為 2，首末兩項(xiàng)的積為 8，求這四個(gè)數(shù) . ［分析］ 此題常規(guī)方法是利用已知條件，先求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出這四個(gè)數(shù) .其實(shí) ,因?yàn)檫@里成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和已知，故可設(shè)此四個(gè)數(shù)為 a3d,ad,a+d,a+3d,這樣求解更為方便，但必須注意這時(shí)的公差應(yīng)為 2d. ［解析］ 解法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a3d,ad,a+d,a+3d(公差為 2d), 依題意， 2a=2,且（ a3d） (a+3d)=8, ∴ a=1,a29d2=8, ∴ d2=1, ∴ d=1或 d=1. 又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列， ∴ d0, ∴ d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為 2， 0， 2， 4. 解法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a,a+d,a+2d,a+3d(公差為 d)， 依題意， 2a+3d=2,且 a(a+3d)=8, 把 a=123 d代入 a(a+3d)=8, 得（ 123 d） (1+23 d)=8,即 149 d2=8, 化簡得 d2=4,∴ d=2 或 2. 又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，∴ d0,∴ d=2,a=2. 故所求的四個(gè)數(shù)為 2， 0， 2， 4. ［說明］ 此題設(shè)法很重要，一般地有如下規(guī)律：（ 1）若所給等差數(shù)列為 2n(n∈ N+)項(xiàng)，則可設(shè)為： a(2n1)d,? ,a3d,ad,a+d,a+3d,? ,a+(2n1)d,此數(shù)列的公差為 2d.(2)若所給等 差 數(shù) 列 的 項(xiàng) 數(shù) 為 2n1(n ∈ N+) 項(xiàng) , 則 這 個(gè) 數(shù) 列 可 設(shè) 為 ：a(n1)d,? ,ad,a,a+d,? ,a+(n1)d,這個(gè)數(shù)列的公差為 d. 變式應(yīng)用 3 已知 5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為 5，平方和為 985 ，求這 5個(gè)數(shù) . ［解析］ 設(shè)這五個(gè)數(shù)依次為 a2d,ad,a,a+d, a+2d,由題意，得 5a=5 (a2d) 2+(ad)2+a2+(a+d) 2+(a+2d) 2 =985 a=1 解得 d2=94 a=1 ∴ d=177。 a7=9 a7=9 a7=1 當(dāng) a5=1時(shí)， d=4, 從而 a1=15, an=15+(n1) 4=4n19. 當(dāng) a5=9時(shí)， d=4,從而 a1=25. ∴ an=25+(n1)（ 4）＝－ 4n+29. 所以數(shù)列｛ an｝的通項(xiàng)公式為 an=4n－ 19 或 an=4n+29. 1896年在希臘雅典舉行，此后每 4年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算 . (1)試寫出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)2020年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？ 2050年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？ ［解析］ (1)由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以 1896為首項(xiàng)， 4為公差的等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=1896+4(n1)=1892+4n(n∈ N+). （ 2）假設(shè) an=2020，由 2020=1892+4n,得 n=29. 假設(shè) an=2050,2050=1892+4n無正整數(shù)解 . 所以 2020年北京奧運(yùn)會(huì)是第 29屆， 2050年不舉行奧運(yùn)會(huì) . 第 2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì) 知能目標(biāo)解讀 . 的項(xiàng)的對(duì)稱性 . . 重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥 重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì) . 難點(diǎn)：應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題 . 學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （ 1）一次函數(shù) f(x)=kx+b(k≠ 0)的圖像是一條直線，斜率 k=1212 )()( xx xfxf ?? (x1≠ x2). 當(dāng) k=0時(shí)，對(duì)于常數(shù)函數(shù) f(x)=b,上式仍然成立 . （ 2）等差數(shù)列｛ an｝的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線的斜率 . 特別地，如果已知等差數(shù)列｛ an｝的任意兩項(xiàng) an,am,由 an=am+(nm)d,類比直線方程的斜率公式得 d= nmaa mn ?? (m≠ n). “子數(shù)列”的性質(zhì) 若數(shù)列｛ an｝是公差為 d的等差數(shù)列，則 （ 1）｛ an｝去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為 d的等差數(shù)列； （ 2）奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列｛ a2n1｝是公差為 2d 的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列｛ a2n｝是公差為 2d 的等差數(shù)列； （ 3）若｛ kn｝是等差數(shù)列，則｛ akn｝也是等差數(shù)列 . 知能自主梳理 （ 1）兩項(xiàng)關(guān)系 通項(xiàng)公式的推廣： an=am+ (m、 n∈ N+). (2)多項(xiàng)關(guān) 系 項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)： 若 m+n=p+q(m、 n、 p、 q∈ N+)，則 =ap+aq. 特別地，若 m+n=2p(m、 n、 p∈ N+)，則 am+an= . 有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和（若有中間項(xiàng)則等于 中間項(xiàng)的 2倍），即 a1+an=a2+ =ak+ =2a21?n (其中 n為奇數(shù)且 n≥ 3). （ 1）若｛ an｝是公差為 d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列： ①｛ c+an｝ (c為任一常數(shù) )是公差為 的等差數(shù)列； ②｛ c a6 (2)=2n+3, 由 89=2n+3，得 n=46. {an}是等差數(shù)列，則（ ） +a8a4+a5 +a8=a4+a5 +a8a4+a5 =a4a5 ［答案］ B ［解析］ 設(shè)公差為 d,則 a1+a8a4a5=a1+a1+7da13da14d=0, ∴ a1+a8=a4+a5. 3,9,15,? ,3(2n1),? ,那么 81是它的第（ ） ［答案］ C ［解析］ 由 3(2n1)=81,解得 n=14. {an}中， a2=5,a6=a4+6,則 a1等于（ ） ［答案］ B a1+d=5 ［解析］ 由題意，得 ， a1+5d=a1+3d+6 解得 a1=8. {an}中， a1=2,2an+1=2an+1,則 a101的值是 （ ） ［答案］ D ［解析］ 由 2an+1=2an+1得 an+1an=21 ， ∴ {an}是等差數(shù)列 ,首項(xiàng) a1=2,公差 d=21 , ∴ an=2+21 (n1)= 23?n , ∴ a101= 2 3101? =52. a=231?,b=231?,則 a,b的等差中項(xiàng)為（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 22 ［答案］ A ［解析］ 2ba? = 2 231231??? = 2 2323 ??? = 3 . {an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為 12，前三項(xiàng)積為 48，則它的首項(xiàng)為（ ） ［答案］ B a1+a2+a3=12 a1+a3=8 ［解析］ 由題設(shè) ， ,∴ a2=4,∴ a1a2a3=48 a1a3=12 ∴ a1,a3是一元二次方程 x28x+12=0的兩根， 又 a3＞ a1,∴ a1=2. 8.{an}是首項(xiàng)為 a1=4,公差 d=2的等差數(shù)列，如果 an=2020,則序號(hào) n等于（ ） ［答案］ C ［解析］ ∵ a1=4,d=2, ∴ an=a1+(n1)d=4+2(n1)=2n+2, ∴ 2n+2=2020, ∴ n=1005. 二、填空題 lg( 3 2 ),x,lg( 3 + 2 )成等差數(shù)列，則 x= . ［答 案］ 0 ［解析］ 由等差中項(xiàng)的運(yùn)算式得 x= 2 )23lg ()23lg ( ??? = 2 )]23)(23lg [( ?? ＝ 0. 5項(xiàng) a2=10,且 a1+a2+a3=3,則 a1= ,d= . ［答案］ 2,3 a5=a1+4d=10 a1+4d=10 a1=2 ［解析］ 由題意得 , 即 ，∴ . a1+a1+d+a1+2d=3 a1+d=1 d=3 {an}的前三項(xiàng)依次為 x， 2x+1， 4x+2，則它的第 5項(xiàng)為 . ［答案］ 4 ［解析］ ∵ 2(2x+1)=x+(4x+2),∴ x=0,則 a1=0,a2=1,d=a2a1=1,∴ a5=a1+4d=4. {an}中， a1=3，且對(duì)于任意大于 1的正整數(shù) n，點(diǎn)（ na , 1?na ）在直線 xy 3 =0上，則 an= . ［答案］ 3n2 ［解析］ 由題意得 na 1?na = 3 , ∴數(shù)列 { na }是首項(xiàng)為 3 ，公差為 3 的等差數(shù)列， ∴ na = 3 n,∴ an=3n2. 三、解答題 {an}中： (1)已知 a5=1,a8=2,求 a1與 d。反之，若a+c=2b,則 a,b,c成等差 數(shù)列 . 變式應(yīng)用 3 已知數(shù)列｛ xn｝的首 項(xiàng) x1=3,通項(xiàng) xn=2np+nq(n∈ N＋ ,p,q為常數(shù) )，且 x x x5成等差數(shù)列 .求： p,q的值 . ［分析］ 由 x x x5成等差數(shù)列得出一個(gè)關(guān)于 p,q的等式，結(jié)合 x1=3推出 2p+q=3,從而得到 p,q. ［解析］ 由 x1=3,得 2p+q=3, ① 又 x4=24p+4q,x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4,得 3＋ 25p+5q=25p+8q, ② 由①②得 q=1,∴ p=1. ［說明］ 若三數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，則 a+c=2b,即 b為 a,c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已 知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到 . 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等差