高中數(shù)學(xué)1-1第2課時(shí)數(shù)列的函數(shù)特性同步導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5-資料下載頁(yè)
2025-11-10 20:40本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的含義.、方法研究數(shù)列的增減性、最值、圖像等問(wèn)題.是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù).數(shù)列與函數(shù)不能畫(huà)等號(hào)，數(shù)列是相應(yīng)函數(shù)的一系列函數(shù)值.利用函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，可以從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列的表示方法及有關(guān)性質(zhì).數(shù)列是一類離散函數(shù)，它是刻畫(huà)離散過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型，有很廣泛的應(yīng)用.個(gè)元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.遞增數(shù)列：一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，y=3-x是減函數(shù)，因此可判斷數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.式或因式連乘積的形式或平方和形式.于根式，進(jìn)行分子（或分母）有理化.借助于數(shù)列圖像的直觀性，證明數(shù)列的單調(diào)性.在直角坐標(biāo)系下，描出點(diǎn).［解析］由第n項(xiàng)可知此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=3,變式應(yīng)用1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,作出該數(shù)列的圖像.∴an+1<an,∴該數(shù)列為遞減數(shù)列.
【正文】 ∴ n=11或 n=7(舍去 ). 故 65是這個(gè)數(shù)列的第 11 項(xiàng) . （ 3） 令 n24n120,得 n6或 n2. ∴這個(gè)數(shù)列從第 7項(xiàng)起各項(xiàng)為正數(shù) . {an}的通項(xiàng) an= bna? (a、 b、 c都是正實(shí)數(shù) )，則 an與 an+1的大小關(guān)系是 . ［答案］ an+1an ［解析］ ∵ a,b,c 均為實(shí)數(shù)， f(x)= cbxax?=xcba?在 (0,+∞ )上是增函數(shù)，故數(shù)列an=cbnan?在 n∈ N+時(shí)為遞增數(shù)列，∴ anan+1. ｛ an｝是遞增數(shù)列，且對(duì)任意的自然數(shù) n(n≥ 1)，都有 an=n2+λ n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 . ［答案］ λ 3 ［解析］ 由｛ an｝為遞增數(shù)列，得 an+1an=(n+1) 2+λ (n+1)n2λ n=2n+1+λ 0恒成立， 即λ 2n1在 n≥ 1時(shí)恒成立， 令 f(n)=2n1,f(n) max=3. 只需λ f(n) max=3即可 . {an}的通項(xiàng)公式為 an=2n2+13n，關(guān)于該數(shù)列，有以下四種說(shuō)法： (1)該數(shù)列有無(wú)限多個(gè)正數(shù)項(xiàng)； (2)該數(shù)列有無(wú)限多個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)； (3)該數(shù)列的最大項(xiàng)就是函數(shù)f(x)=2x2+13x的最大值； (4)70是該數(shù)列中的一項(xiàng) . 其中正確的說(shuō)法有 .（把所有正確的序號(hào)都填上） ［答案］ (2)(4) ［解析］ 令 2n2+13n0，得 0n213 ，故數(shù)列 {an}有 6項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，有無(wú)限個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng) .當(dāng) n=3時(shí)，數(shù)列 {an}取到最大值，而當(dāng) x= f(x)取到最大值 . 令 2n2+13n=70，得 n=10，或 n=27 （舍去） .即 70是該數(shù)列的第 10項(xiàng) . 三、解答題 1， 2， 37 ， 25 ， 513 ，? . （ 1）寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 an。 （ 2）判斷數(shù)列｛ an｝的增減性 . ［解析］ （ 1）數(shù)列 1， 2， 37 ， 25 ， 513 ，? .可變?yōu)?11 ， 24 ， 37 ， 410 ， 513 ，? .觀察該數(shù)列可知，每一項(xiàng)的分母恰與該項(xiàng)序號(hào) n對(duì)應(yīng)，而分子比序號(hào) n的 3倍少 2， an= nn 23? . (2)∵ an= nn 23? =3n2 , ∴ an+1=3 12?n , ∴ an+1an=3 12?n 3+n2 =n2 12?n =)1( 2?nn0, an+1｛ an｝為遞增數(shù)列 . ，寫(xiě)出數(shù)列的前 5項(xiàng)，并用圖像表示出來(lái) . (1)an=(1) n+2。 (2)an= nn1? . ［解析］ (1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5= 1. (2)a1=2,a2=23,a3=34,a4=45,a5=56.圖像如圖 2. ｛ an｝ ,a1=2,an+1=2an，寫(xiě)出數(shù)列的前 4項(xiàng)，猜想 an,并加以證明 . ［證明］ 由 a1=2,an+1=2an,得 a2=2a1=4=22,a3=2a2=2 22=23, a4=2a3=2 23=24. 猜想 an=2n(n∈ N+). 證明如下： 由 a1=2,an+1=2an, 得1?nnaa =21??nnaa =? =23aa =12aa =2. ∴ an=1?nnaa 21??nnaa ?23aa 12aa a1=2 2? 2 2＝ 2n. f(x)= 122?xx ,設(shè) f(n)=an(n∈ N+).求證： 21 ≤ an1. ［解析］ 解法一：因?yàn)?an1= 122?nn 1= 112?n0, an21 = 122?nn 21 ＝)1(2 122 ??nn≥ 0, 所以 21 ≤ an1. 解法二： an= 122?nn = 11122 ???nn =1112 ?n1, an+1an=1)1( )1( 2 2???nn 122?nn =]1)1[()1( ]1)1[()1()1( 222222???? ??????? nn nnnn =]1)1[()1( 12 22 ???? ?nn n. 由 n∈ N+得 an+1an0，即 an+1an, 所以數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 . 所以 an的最小值為 a1=21,即 an≥21. 所以21≤ an1.
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