高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題分析word導(dǎo)學(xué)案-資料下載頁
2024-12-04 23:43本頁面
【導(dǎo)讀】、極值、最值、參數(shù)等問題.數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.考考點之一.函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合是高考熱點與難點.問題1:在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'>0,那么函數(shù)y=f在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào);要條件是:對任意x∈(a,b),都有f'≥0(或≤0)且f在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為。f是函數(shù)的一個,記作y極大值=f;如果對x0附近的所有的點都有f>f,數(shù)f'=0的點不一定是函數(shù)y=f的極值點,如使f'=0的點的左、右的導(dǎo)數(shù)值異號,的一個是,最小的一個是.f的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f'在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示,則函數(shù)f. 已知x>0,證明不等式x>ln(1+x).當(dāng)a=1時,求f的極值,并證明f>g+恒成立.若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.f=alnx+x在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是.f=(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).后列表可判斷函數(shù)極小值點有1個.所以a=,代入原函數(shù)可得2++b=3,線與過某點處的切線問題時要注意點是否在曲線上,若非切點則需要設(shè)出切點,否則會出錯.因為曲線y=f與曲線y=g在它們的交點(1,c)處具有公共切線,
【正文】 此時 f(x)單調(diào)遞增 . ∴f (x)的極小值為 f(1)=1. ∴f (x)在 (0,e]上的最小值為 1. 令 h(x)=g(x)+ = + ,則 h39。(x)= , 當(dāng) 0xe時 ,h39。(x)0,則 h(x)在 (0,e]上單調(diào)遞增 , ∴h (x)max=h(e)= + + =1=f(x)min. ∴f (x)g(x)+ 恒成立 . (2)假設(shè)存在實數(shù) a,使 f(x)=axln x(x∈(0,e]) 有最小值 3. ∵f39。 (x)=a = . ① 當(dāng) a≤0 時 ,f(x)在 (0,e]上單調(diào)遞減 , ∴f (x)min=f(e)=ae1=3, ∴a= (舍去 ), ∴ 當(dāng) a≤0 時 ,不存在實數(shù) a使 f(x)的最小值為 3. ② 當(dāng) 0 e,即 a 時 ,f(x)在 (0, )上單調(diào)遞減 ,在 ( ,e]上單調(diào)遞增 , ∴f (x)min=f( )=1+ln a=3,∴a= e2,滿足條件 . ③ 當(dāng) ≥e, 即 0a≤ 時 ,f(x)在 (0,e]上單調(diào)遞減 ,f(x)min=f(e)=ae1=3,∴a= (舍去 ), ∴ 當(dāng) ≥e 時 ,不存在實數(shù) a使 f(x)的最小值為 3. 綜上 ,存在實數(shù) a=e2,使得當(dāng) x∈(0,e] 時 ,f(x)有最小值 3. 基礎(chǔ)智能檢測 ∵y39。=f (x)+xf39。(x),而函數(shù) f(x)的定義域為 (0,+∞ )且 f(x)0,f39。(x)0,∴y39。 0 在(0,+∞ )上恒成立 .因此 y=xf(x)在 (0,+∞ )上是增函數(shù) . y39。=3x2 ,令 y39。=0,即 x2 =0,解得 x=177。 x0,所以 x= (0,+∞ )上 ,由于只有一個極小值 ,所以它也是最小值 ,從而函數(shù)在 (0,+∞ )上的最小值為 13+ =4. 3.[2,+∞ ) ∵f (x)=aln x+x,∴f39。 (x)= + ∵f (x)在 [2,3]上單調(diào)遞增 ,∴ +1≥0 在x∈[2,3] 上恒成立 ,∴a ≥( x)max=2,∴a ∈[ 2,+∞ ). :(1)∵f (x)在區(qū)間 (0,+∞ )上是單調(diào)增函數(shù) , ∴ m2+2m+30,即 m22m30, ∴ 1m m∈Z, ∴m= 0,1,2, 而 m=0,2時 ,f(x)=x3不是偶函數(shù) ,m=1時 ,f(x)=x4是偶函數(shù) , ∴f (x)=x4. (2)g(x)= x4+ax3+ x2b, g39。(x)=x(x2+3ax+9), 顯然 x=0不是方程 x2+3ax+9=0的根 . 為使 g(x)僅在 x=0處有極值 ,則有 x2+3ax+9≥0 恒成立 , 即有 Δ= 9a236≤0, 解不等式 ,得 a∈[ 2,2]. 這時 ,g(0)=b是唯一極值 ,∴a ∈[ 2,2]. 全新視角拓展 C f39。(x)=3x2+2ax+b,若 x0是 f(x)的極小值點 ,則 f(x)必有兩個極值點 ,不妨設(shè)另一個極值點為 x1,則 f(x)在 (∞ ,x1)上單調(diào)遞增 ,在 (x1,x0)上單調(diào)遞減 .
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