高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用word導(dǎo)學(xué)案-資料下載頁
【導(dǎo)讀】、極值、最值等.考點(diǎn)之一.函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合是高考熱點(diǎn)與難點(diǎn).問題1:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'>0,那么函數(shù)y=f在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào);條件是:對(duì)任意x∈(a,b),都有f'≥0(或≤0)且f在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利。f是函數(shù)的一個(gè),記作y極大值=f;如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f>f,極值點(diǎn),其中左正右負(fù)點(diǎn)是極大值點(diǎn),左負(fù)右正點(diǎn)是極小值點(diǎn).極大值未必大于極小值.一個(gè)是,最小的一個(gè)是.f的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f'在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示,則函數(shù)f在開。(0,0)處的切線方程.若函數(shù)f=x3-ax2+1在[0,2]內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.畫出它的大致圖像;指出y=f零點(diǎn)的個(gè)數(shù).若函數(shù)f=x3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),試。當(dāng)a=1時(shí),求f的極值,并證明f>g+恒成立.若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.已知函數(shù)f=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是().列表可判斷函數(shù)極小值點(diǎn)有1個(gè).綜上,可知a的取值范圍是[3,+∞).利用集合的包含關(guān)系處理:f在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集;
【正文】 (x)0,此時(shí) f(x)單調(diào)遞增 . ∴ f(x)的極小值為 f(1)=1. ∴ f(x)在 (0,e]上的最小值為 1. 令 h(x)=g(x)+ = + ,則 h39。(x)= , 當(dāng) 0xe 時(shí) ,h39。(x)0,則 h(x)在 (0,e]上單調(diào)遞增 , ∴ h(x)max=h(e)= + + =1=f(x)min. ∴ f(x)g(x)+ 恒成立 . (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù) a,使 f(x)=axln x(x∈ (0,e])有最小值 3. ∵ f39。(x)=a = . ① 當(dāng) a≤0 時(shí) ,f(x)在 (0,e]上單調(diào)遞減 , ∴ f(x)min=f(e)=ae1=3, ∴ a= (舍去 ), ∴ 當(dāng) a≤0 時(shí) ,不存在實(shí)數(shù) a 使 f(x)的最小值為 3. ② 當(dāng) 0 e,即 a 時(shí) ,f(x)在 (0, )上單調(diào)遞減 ,在 ( ,e]上單調(diào)遞增 , ∴ f(x)min=f( )=1+ln a=3,∴ a=e2,滿足 條件 . ③ 當(dāng) ≥e,即 0a≤ 時(shí) ,f(x)在 (0,e]上單調(diào)遞減 ,f(x)min=f(e)=ae1=3,∴ a= (舍去 ), ∴ 當(dāng) ≥e 時(shí) ,不存在實(shí)數(shù) a 使 f(x)的最小值為 3. 綜上 ,存在實(shí)數(shù) a=e2,使得當(dāng) x∈ (0,e]時(shí) ,f(x)有最小值 3. 基礎(chǔ)智能檢測 ∵ y39。=f(x)+xf39。(x),而函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0,+∞)且 f(x)0,f39。(x)0,∴ y39。0 在 (0,+∞)上恒成立 .因此 y=xf(x)在 (0,+∞)上是增函數(shù) . y39。=3x2 ,令 y39。=0,即 x2 =0,解得 x=177。 x0,所以 x= (0,+∞)上 ,由于只有一個(gè)極小值 ,所以它也是最小值 ,從而函數(shù)在 (0,+∞)上的最小值為 13+ =4. 3.[2,+∞) ∵ f(x)=aln x+x,∴ f39。(x)= + ∵ f(x)在 [2,3]上單調(diào)遞增 ,∴ +1≥0在 x∈ [2,3]上恒成立 ,∴ a≥(x)max=2,∴ a∈ [2,+∞). :(1)∵ f(x)在區(qū)間 (0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù) , ∴ m2+2m+30,即 m22m30, ∴ 1m m∈ Z,∴ m=0,1,2, 而 m=0,2 時(shí) ,f(x)=x3不是偶函數(shù) ,m=1 時(shí) ,f(x)=x4是偶函數(shù) , ∴ f(x)=x4. (2)g(x)= x4+ax3+ x2b, g39。(x)=x(x2+3ax+9), 顯然 x=0 不是方程 x2+3ax+9=0 的根 . 為使 g(x)僅在 x=0 處有極值 ,則有 x2+3ax+9≥0 恒成立 , 即有 Δ=9a236≤0,解不等式 ,得 a∈ [2,2]. 這時(shí) ,g(0)=b 是唯一極值 ,∴ a∈ [2,2]. 全新視角拓展 C f39。(x)=3x2+2ax+b,若 x0是 f(x)的極小值點(diǎn) ,則 f(x)必有兩個(gè)極值點(diǎn) ,不妨設(shè)另一個(gè)極值點(diǎn)為 x1,則 f(x)在 (∞,x1)上單調(diào)遞增 ,在 (x1,x0)上單調(diào)遞減 .
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