【導(dǎo)讀】“氣溫陡增”這一句生活用語(yǔ),用數(shù)學(xué)方法如何刻畫(huà)?問(wèn)題2如何量化(數(shù)學(xué)化)曲線上升的陡峭程度?解通過(guò)討論,給出函數(shù)f在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率:錯(cuò)誤!,應(yīng)注意分子、分。上的平均變化率就是直線AB的斜率.問(wèn)題3回到問(wèn)題情境中,從數(shù)和形兩方面對(duì)平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu).日的日平均變化率為.自變量的增量Δx;[題后反思]求平均變化率時(shí)關(guān)鍵在于理解定義,知道Δx與Δy分別指的是什么.變式若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S=5t+3,則在時(shí)間[3,3+Δt]中,相應(yīng)的平均速度等于5.[規(guī)范板書(shū)]解84m/min=,時(shí)間為x,根據(jù)相似三角形列式錯(cuò)誤!x,人影長(zhǎng)度變化速率為。[題后反思]幾何類(lèi)應(yīng)用題需觀察圖形,數(shù)形結(jié)合地考慮問(wèn)題.[處理建議]引導(dǎo)學(xué)生利用平均變化率的概念解題.0到x0+Δx之間的平均變化率.周期間日營(yíng)業(yè)額的平均變化率是400.的直線l,這條直線是過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最逼近曲線的一條直線.Q為曲線上不同于點(diǎn)P的一點(diǎn),這時(shí),直線PQ稱(chēng)為曲線的割線;里平均變化率表現(xiàn)為什么?

　　

【正文】 2 可由 y=u2,u=3x1 復(fù)合而成 ,y 關(guān)于 u 的導(dǎo)數(shù)記為 y39。u,y39。u=2u,將 u 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù)記為 u39。x,即 u39。x=(3x1)39。=3,因而有 y39。x=y39。uu39。x. 問(wèn)題 2 (教材第 23 頁(yè) )求函數(shù) y=sin2x 的導(dǎo)數(shù) . 解 一方面 ,y39。x=(sin2x)39。=(2sinxcosx)39。=2cos2x. 另一方面 ,函數(shù) y=sin2x 可由 y=sinu,u=2x 復(fù)合而成 ,y 關(guān)于 u 的導(dǎo)數(shù)記為 y39。39。u=cosu,將 u 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù)記為 u39。x,即 u39。x=(2x)39。=2,因而有 y39。x=y39。uu39。x. 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問(wèn)題 3 舉例說(shuō)明哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù) ?[2] 問(wèn)題 4 怎樣求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ?[3] 一般地 ,若 y=f(u),u=ax+b, 則 y39。x=y39。uu39。x=ay39。u. 法則理解 1. 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) ,等于已知函數(shù)對(duì)中間變量 u 的導(dǎo)數(shù) ,乘以中間變量 u 對(duì)自變量 x 的導(dǎo)數(shù) 。 2. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系 ,合理選定中間變量 ,明確求導(dǎo)過(guò)程中每次是哪個(gè)變量相對(duì)于哪個(gè)變量求導(dǎo) 。 3. 法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量 ,但不要求掌握 . 三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用 【 例 1】 (教材第 24 頁(yè)例 2)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : (1) y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 (2) y=cos(12x). (見(jiàn)學(xué)生用書(shū) P15) [處理建議 ] 讓學(xué)生練習(xí)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解 ,再運(yùn)用法則求導(dǎo) . [規(guī)范板書(shū) ] 解 (1) 函數(shù) y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 可由 y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,u=3x1 復(fù)合而成 , 則 y39。x=y39。uu39。x=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . (2) 函數(shù) y=cos(12x)可由 y=cosu,u=12x 復(fù)合而成 , 則 y39。x=y39。uu39。x=(cosu)39。(2)=(sinu)(2)=2sin(12x). [題后反思 ] (1) 對(duì)于簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) ,要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu) ,適當(dāng)選取中間變量 。 (2) 弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo) ,不要混淆 。 (3) 求導(dǎo)的次序是由外向內(nèi) 。 (4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是 :分解 —求導(dǎo) —相乘 —回代 . 變式 求函數(shù) y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 的導(dǎo)數(shù) . [ 規(guī)范板書(shū) ] 解 y= 錯(cuò)誤 !未 找 到 引 用 源 。 =(3x1)4. 設(shè) y=u4,u=3x1, 則y39。x=y39。uu39。x=(u4)39。(3x1)39。=4u53=12u5=12(3x1)5= 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . [ 題后反思 ] 熟 練 掌 握 求 導(dǎo) 法 則 后 , 本 例 可 以 直 接 寫(xiě) 成y39。x=[(3x1)4]39。=4(3x1)53=12(3x1)5=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 【 例 2】 求曲線 y=sin2x 在點(diǎn) P錯(cuò)誤 !未找到引用源。 處的切線方程 .(見(jiàn)學(xué)生用書(shū) P16) [處理建議 ] 學(xué)生討論、判斷 ,并且由學(xué)生給出理由 . [規(guī)范板書(shū) ] 解 設(shè) f(x)=sin2x,則 f39。(x)=2cos2x,故曲線在點(diǎn) P(π,0)處的切線方程為2x+yπ=0. 四、 課堂練習(xí) 1. 函數(shù) y=cos(12x)的導(dǎo)數(shù) y39。=2sin(12x). 2. 若 y=e2x1,則 y39。=2e2x1. 3. 函數(shù) y=x錯(cuò)誤 !未找到引用源。 的導(dǎo)數(shù) y39。=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 4. 若某港口在一天 24 h內(nèi)潮水高度近似地滿(mǎn)足關(guān)系 S(t)=3sin錯(cuò)誤 !未找到引用源。 (0≤t≤24),則 18 點(diǎn)時(shí)潮水起落的速度為多少 ? 解 S39。(t)=3cos 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 cos 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 所以 S39。(18)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 cos 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,即 18點(diǎn)時(shí)潮水速度為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 五、 課堂小結(jié) 1. 對(duì)于簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) ,要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu) ,關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系 ,適當(dāng)選取中間變量 ,利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 . 2. 一些根式函數(shù)或分母上是冪函數(shù)、分子為常數(shù)的分式函數(shù) ,通常經(jīng)過(guò)變形 ,轉(zhuǎn)化成冪函數(shù) ,這樣求導(dǎo)起來(lái)會(huì)比較方便 . 3. 求導(dǎo)的次序是由外向內(nèi) . 4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是 :分解 —求導(dǎo) —相乘 —回代 . 第 9 課時(shí) 單調(diào)性 教學(xué)過(guò)程 一、 問(wèn)題情境 導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性都是對(duì)函數(shù)上升和下降的變化趨勢(shì)的刻畫(huà) ,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系呢 ? 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問(wèn)題 1 由函 數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)上是增函數(shù) ,對(duì)于任意 x1,x2∈ (a,b),當(dāng) x1x2時(shí) ,函數(shù)f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的平均變化率的正負(fù)如何 ?[2] 解 導(dǎo)數(shù)大于 0 與函數(shù)遞增密切相關(guān) . 問(wèn)題 2 函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)上是減函數(shù) ,你又能推出什么結(jié)論呢 ? 解 導(dǎo)數(shù)小于 0 與函數(shù)遞減密切相關(guān) . 問(wèn)題 3 怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 ?[3] 解 一般地 ,我們有以下結(jié)論 : 對(duì)于函數(shù) y=f(x), 如果在某區(qū)間上 f39。(x)0,那么 f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù) 。 如果在某區(qū)間上 f39。(x)0,那 么 f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù) . 問(wèn)題 4 你能結(jié)合具體函數(shù)圖象得到上述結(jié)論嗎 ? 解 以 y=x24x+9 為例 . 從函數(shù)的圖象可以看出 :在區(qū)間 (2,+∞)上 ,切線的斜率為正 ,函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (2,+∞)上為增函數(shù) 。在區(qū)間 (∞,2)上 ,切線的斜率為負(fù) ,函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (∞,2)上為減函數(shù) . 問(wèn)題 5 函數(shù) f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增 (或遞減 ),那么在該區(qū)間上必有 f39。(x)0 或f39。(x)0 嗎 ? 上述的條件和結(jié)論對(duì)調(diào)后 ,結(jié)論正確嗎 ?如果不正確 ,你能舉出反例嗎 ?[4] 概念理解 1. 若某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 y39。=0,則 f(x)為常數(shù) . 2. y39。0(或 y39。0)是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (或遞減 )的充分不必要條件 . 三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用 【 例 1】 (教材第 29 頁(yè)例 3)確定函數(shù) f(x)=sinx,x∈ [0,2π]的單調(diào)遞減區(qū)間 .(見(jiàn)學(xué)生用書(shū) P18) [規(guī)范板書(shū) ] 解 f39。(x)= f39。(x)0,即 cosx0,又 x∈ [0,2π],所以 x∈ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,故所求的的單調(diào)遞減區(qū)間為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 本題也可直接利用函數(shù)的圖象得出 ,求導(dǎo)的方法不是唯一的方法 ,也不一定是最好的方法 ,但它是一種一般性的方法 .學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) ,是為了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的 ,從以上3 個(gè)例題中 ,可讓學(xué)生體會(huì)到導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的有效性和一般性 . 【 例 2】 求函數(shù) f(x)=3x22lnx 的單調(diào)區(qū)間 . [處理建議 ] 先考慮定義域 ,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求解 . [規(guī)范板書(shū) ] 解 定義域?yàn)?(0,+∞),f39。(x)=6x錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 .由 f39。(x)0 ? x錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。由 f39。(x)0 ? 0x錯(cuò)誤 !未找到引用源。 .故 f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,單調(diào)減區(qū)間為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 任何函數(shù)問(wèn)題 ,定義域都是關(guān)鍵前提 . 【 例 3】 若函數(shù) f(x)=x2+錯(cuò)誤 !未找到引用源 。 (x≠0,a∈ R)在 [2,+∞)上的導(dǎo)數(shù)的值不是負(fù)數(shù) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . [處理建議 ] 讓學(xué)生分析 “不是負(fù)數(shù) ”包含正數(shù)和 0 兩種情況 ,之后根據(jù)題意來(lái)反推 . [規(guī)范板書(shū) ] 解 ∵ f39。(x)=2x錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ≥0在 [2,+∞)上恒成立 ,∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ≤2x,即 a≤2x3. ∵ x≥2,∴ 2x3≥16,∴ a≤16. [題后反思 ] 恒成立問(wèn)題優(yōu)先考慮用參變分離來(lái)處理解決 . *【 例 4】 已知函數(shù) f(x)=kx33(k+1)x2k2+1(k0),若 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (0,4). (1) 求 k 的值 。 (2) 當(dāng) xk 時(shí) ,求證 :2 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . [規(guī)范板書(shū) ] 解 (1) f39。(x)=3kx26(k+1)x=3kx錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,k0. 由題意 f39。(x)=0 的兩根為 0 和 4,故 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =4,解得 k=1. (2) 令 g(x)=2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 +錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3,g39。(x)=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 , 當(dāng) x1 時(shí) ,g39。(x)0,g(x)=2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 +錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3在 (1,+∞)上遞增 , 又因?yàn)?g(1)=0,xk=1,所以 g(x)0, 故 2 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 3錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 四、 課堂練習(xí) 1. 設(shè) f(x)=x2(2x),則 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 2. 若函數(shù) f(x)=x3ax2+1 在 (0,2)內(nèi)單調(diào)遞減 ,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 [3,+∞). 3. 求函數(shù) f(x)=2x2lnx 的單調(diào)區(qū)間 . 解 增區(qū)間為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ,減區(qū)間為 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 . 4. 已知 a0,函數(shù) f(x)=x3ax 在 [1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 解 f39。(x)=3x2a,函數(shù) f(x)=x3ax在 [1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù) ,則當(dāng) x∈ [1,+∞)時(shí) ,f39。(x)≥0恒成立 ,即 x∈ [1,+∞)時(shí) a≤3x2 恒成立 ,得 a≤ a0,所以 0a≤3. 五、 課堂小結(jié) 1. 導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào) 性之間的關(guān)系 . 2. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟 : (1) 確定函數(shù) f(x)的定義域 。(2) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。(3) 解不等式 f39。(x)0,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 。解不等式 f39。(x)0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 . 3. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ,求導(dǎo)的方法不是唯一的方法 ,也不一定是最好的方法 ,但它是一種一般性的方法 .對(duì)于不熟悉的函數(shù) ,常常利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性 . 第 10 課時(shí) 極大值與極小值 (1) 教學(xué)過(guò)程 一、 問(wèn)題情境 (圖 1) 觀察給定函數(shù)圖象 ,在 P 和 Q 兩側(cè)圖象的單調(diào)性變化 : P 點(diǎn)處從左側(cè) 到右側(cè)由上升變?yōu)橄陆?(函數(shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減 ),這時(shí)在點(diǎn) P 附近 ,點(diǎn) P 的位置最高 。 Q 點(diǎn)處從左側(cè)到右側(cè)由下降變?yōu)樯仙?(函數(shù)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增 ),這時(shí)在點(diǎn) Q附近 ,點(diǎn) Q 的位置最低 .[1] 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu) 問(wèn)題 1 上述的結(jié)論如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言該怎樣來(lái)描述 ?[2] 解 1. 極大值點(diǎn) :已知函數(shù) f(x),設(shè) x1是定義域內(nèi)一點(diǎn) ,如果在 x1 附近的所有的 x,都有f(x)f(x1),就說(shuō)函數(shù) f(x)在 x1處取得極大值 ,把 x1 稱(chēng)為 f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn) 。 極小值點(diǎn) :已知函數(shù) f(x),設(shè) x2 是定義域內(nèi)一點(diǎn) ,如果在 x2 附近的 所有的 x,都有 f(x)f(x2),就說(shuō)函數(shù) f(x)在 x2處取得極小值 ,把 x2 稱(chēng)為 f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn) . 2. 極大值 :稱(chēng) f(x1)為函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值 。 極小值 :稱(chēng) f(x2)為函數(shù) f(x)的一個(gè)極小值 . 極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值 . 問(wèn)題 2 在定義域內(nèi) ,函數(shù)的極大值是唯一的嗎 ?函數(shù)的極大值一定大于其極小值嗎 ? 函數(shù)的極值點(diǎn)可能在區(qū)間的端點(diǎn)產(chǎn)生嗎 ?試作圖說(shuō)明 .[3] 問(wèn)題 3 極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)有何特點(diǎn) ?當(dāng) f39。(x0)=0 時(shí) ,能否肯定函數(shù) f(x)在 x0 處取得極值 ?[4] 問(wèn)題 4 函數(shù)的極值與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有怎樣的 關(guān)系 ?[5] 3. 函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)關(guān)系 : 如果 f39。(x0)=0,且在 x0 的附近的左側(cè) f39。(x0)0,右側(cè) f39。(x0)0,那么 f(x0)是極大值 。如果f39。(x0)=0,且在 x0 的附近的左側(cè) f39。(x0)0,右側(cè) f39。(x0)0,那么 f(x0)是極小值 . 表 1 x x1 左側(cè) x1 x1 右側(cè) f39。(x) f39。(x)0 f39。(x)=0 f39。(x)0 f(x) 增 ↗ 極大值 f(x1) ↘ 減 表 2 x x2 左側(cè) x2 x2 右側(cè) f39。(x) f39。(x)0 f39。(x)=0 f39。(x)0 f(x) ↘ 減 極小值 f(x2) 增 ↗ 概念理解 1. 取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn) ,極值點(diǎn)是自變量的值 ,極值指的是函數(shù)值 . 2. 極值是一個(gè)局部的概念 ,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較